AVL树原理理解：旋转与平衡

AVL树原理理解：旋转与平衡

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1.大危机

假如要构建BST（Binary Search Tree）的数组本身是严格递增的…
插入后的结果如图所示，查找树会退化成一条链，构造将毫无意义，不会带来任何效率提升。

2.平衡

上图的核心问题就在于树地结构彻底地偏向了右方。
在 1962 年，俄罗斯数学家 G. M. Andel’son-Vel-skii 和 E. M. Landis 发明了第一种自平衡二叉查找树，叫做 AVL 树。AVL 树必须维持如下平衡条件，对每个节点 ：

其左子树的高度（或称深度）与右子树的高度的差至多是 1。

也就是说，其只能成如下形状：

AVL树的插入操作与BST相同，采用不断地比较大小直到跳到叶节点。
只是，插入新节点后可能会破坏平衡性质。
对此，我们采用动态处理办法维持平衡。

很容易证明，每插入一个节点，可以通过至多1次旋转使其恢复平衡。
那么，我们从插入的节点向上回溯，直到找到第一个不平衡节点，便对以其为根节点的（子）树开始旋转。

3.旋转

先看一些例子，直观感觉一下旋转：


这两幅图都是单旋转的例子。
图一是最简单的情况。以红节点为根的子树不平衡，旋转后变成以黄节点为根。注意上节课讲的BST的性质，这整颗子树的任一节点都比紫结点要大，所以不论如何旋转其都在紫结点的右侧。
图二相比图一，多了一个特征：旋转后为保持二叉树的性质，子树B被过继给了节点5。具体操作非常容易。

但，还有更为困难的情况：双旋转。

若直接旋转，转后将不满足BST的性质。
我们需要先对以3为根的子树单旋转一次，再对以5为根的子树单旋转。

综合起来，总处理步骤如下：
*参考http://www.cnblogs.com/vamei/archive/2013/03/21/2964092.html

1. 按照BST的方式新增一个节点。

2. 从新增节点开始，回溯到第一个失衡节点。

3. 找到断边(失衡节点与其父节点的连边)，并确定断边的方向。

4. 以断边下端为根节点，确定左右子树中的哪一个深度大。(因为BST的插入规则，两子树的深度不可能相等，且深度大的子树含有新增节点。)

5. 如果第2和第3步中的方向一致(都为左或者都为右)，需要单旋转以失衡节点为根节点的子树。否则，双旋转以失衡节点为根节点的子树。