SPFA算法详解——判断负权环

SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）（队列优化）算法是求单源最短路径的一种算法。它是在Bellman-ford算法的基础上加上一个队列优化，减少了冗余的松弛操作，是一种高效的最短路算法。
Bellman-Ford算法虽然可以处理负环，但是时间复杂度为O(ne)，e为图的边数，在图为稠密图的时候，是不可接受的。
Bellman-Ford算法的缺点在于，当某一个迭代求解已经获得了所有的最短路径后，它还是会继续执行没有执行完的迭代求解。但其实不用这样。
分析不难发现，起点s到某一个点的最短路径的第一条边，必定是s与s的邻接点连成的边。所以当我们在第一次松弛（即第一次迭代求解时）时，松弛的边必定包含最短路径的第一条边。
而最短路径的第二条边，必定是s的邻接点与s的邻接点的邻接点连成的边。这样以此类推。

算法核心

因此，可以对算法进行优化。设置一个队列，初始的时候将s放入队列中。
【1】队列出队，出队元素为current，松弛current与其邻接点相连的边，将松弛成功的邻接点放入队列中，这些点中包含其最短路径的第二个点（第一个点为起点）
【2】然后再次队列出队，出队元素为current，松弛current与其邻接点相连的边，但如果已在队列中就不要重复入队了
【3】重复以上步骤
其实这个步骤和无权最短路径算法有点像。

代码实现

from queue import Queue
class Edge():
    def __init__(self,u,v,cost):
        self.u = u
        self.v = v
        self.cost = cost
nodenum = 5

edgeList = []
dis = [float("inf")]*nodenum
pre = [-1]*nodenum
know = [False]*nodenum#代表已在队列之中

edgeList.append(Edge(1,4,2))
edgeList.append(Edge(0,2,4))
edgeList.append(Edge(3,2,5))
edgeList.append(Edge(3,1,1))
edgeList.append(Edge(1,3,2))
edgeList.append(Edge(4,3,-3))
edgeList.append(Edge(0,1,-1))
edgeList.append(Edge(1,2,3))


edgenum = len(edgeList)

original = 0
def SPFA(original):
    q = Queue()
    dis[original] = 0
    know[original] = True
    q.put(original)

    while(not q.empty()):
        current = q.get()
        know[current] = False
        #循环遍历current的邻接顶点
        for edge in edgeList:
            if(edge.u == current):#current点的邻接边
                temp = dis[edge.u] + edge.cost
                if(temp < dis[edge.v]):#松弛操作
                    dis[edge.v] = temp
                    pre[edge.v] = current
                    if(not know[edge.v]):
                        q.put(edge.v)
                        know[edge.v] = True
        print('当前出队的元素为',current)
        print(dis)
        print(pre,'\n')

SPFA(original)
print('\n',dis)
print(pre)

从运行结果可以看出，程序的执行过程。2出队了两次，说明它也入队了两次。从上到下观察dis数组，可以发现每个点的dis最多被更新两次，有的更新一次就更好好了。

负权环

当图中有负权环时，队列就不会有空的情况了，因为由于负权环的存在，负权环上的点就可以一直被松弛，一直能被松弛就代表着队列会不断反复让负权环上的点入队出队，程序就会死循环。
修改边的权重为：

edgeList.append(Edge(0,1,-1))
edgeList.append(Edge(1,2,3))
edgeList.append(Edge(3,1,1))
edgeList.append(Edge(1,3,2))
edgeList.append(Edge(1,4,2))
edgeList.append(Edge(0,2,4))
#edgeList.append(Edge(3,2,5))
edgeList.append(Edge(2,3,-5))
edgeList.append(Edge(4,3,-3))

如图所示，形成了123的负权环。
此时，运行结果会无限输出，不停有元素出队入队，所以程序陷入了死循环。

判断负权环

根据松弛次数

n代表节点个数。
根据松弛次数是否大于等于n来判断负权环，是从网上其他博客说的，根据出队次数是否大于等于n来判断，想到的。因为，判断出队次数，是判断更新次数的上界。
用一个n大小的数组来代表每个点的松弛次数。因为SPFA算法里的松弛，和Bellman-ford算法里的松弛一样。Bellman-ford算法里，对同一个点的松弛次数，在极端情况下，可以想象把这些松弛次数分配到每一次迭代求解中去，而迭代求解一共只有n-1次。所以一旦某个点的松弛次数等于了n，那么就说明有负环。
所以，在每次进行松弛后，遍历判断每个点的松弛次数，如果有一个等于n（再执行下去就会大于n），就说明有负环。

#用松弛次数来判断负权环
from queue import Queue
class Edge():
    def __init__(self,u,v,cost):
        self.u = u
        self.v = v
        self.cost = cost
nodenum = 5

edgeList = []
dis = [float("inf")]*nodenum
pre = [-1]*nodenum
know = [False]*nodenum#代表已在队列之中

update = [0]*nodenum#代表每个点被更新的次数

edgeList.append(Edge(0,1,-1))
edgeList.append(Edge(1,2,3))
edgeList.append(Edge(3,1,1))
edgeList.append(Edge(1,3,2))
edgeList.append(Edge(1,4,2))
edgeList.append(Edge(0,2,4))
#edgeList.append(Edge(3,2,5))
edgeList.append(Edge(2,3,-5))
edgeList.append(Edge(4,3,-3))

edgenum = len(edgeList)

original = 0
def SPFA(original):
    q = Queue()
    dis[original] = 0
    know[original] = True
    q.put(original)

    while(not q.empty()):
        current = q.get()
        know[current] = False
        flag = False#负环判断标记
        #循环遍历current的邻接顶点
        for edge in edgeList:
            if(edge.u == current):#current点的邻接边
                temp = dis[edge.u] + edge.cost
                if(temp < dis[edge.v]):#松弛操作
                    dis[edge.v] = temp
                    pre[edge.v] = current
                    update[edge.v] += 1
                    for i in update:
                        if(i==nodenum):
                            flag =True
                            print('最后一次出队的是',current)
                            break
                    if(flag == True):
                        break
                    if(not know[edge.v]):
                        q.put(edge.v)
                        know[edge.v] = True
        if(flag == True):
            break
        print('当前出队的元素为',current)
        print(dis)
        print(pre,'\n')

SPFA(original)
print('dis',dis)
print('pre',pre)
print('update',update)

运行结果并没有全部截图下来，因为中间执行了很多次不该有的出队入队操作（每次出队都输出东西），这里只截了最后结果。可以看到update数组中，有一个等于了5，所以程序就判断有了负权环。
而且读者可以通过所有的输出结果，统计每个点出队次数，会发现，这些点里面出队次数最大也就为4（我用画正字来记的数==）。意思就是，如果程序通过出队次数来判断的话，那么程序还得多执行几次，不该有的出队入队操作。这也证实了，判断出队次数，是判断更新次数的上界。
但通过所有输出结果，还是觉得程序判断出负权环判断得太迟了（中间执行了很多次不该有的出队入队操作），有没有一种更快的方法，可以及早判断出负权环呢。答案是有，如下。

根据最短路径上的死循环

寻找最短路径的方法是通过pre数组：
比如代码实现章节的程序运行后，pre数组为[-1, 0, 1, 4, 1]，要寻找从起点0到3的最短路径，步骤如下：
【1】记录下3，路径为=>3
【2】记录下pre[3]=4，路径为=>4=>3
【3】记录下pre[4]=1，路径为=>1=>4=>3
【4】记录下pre[1]=0，路径为=>0=>1=>4=>3
【4】记录下pre[0]=-1，遇到-1，到达终点，返回路径=>0=>1=>4=>3
从起点到某点的最短路径，路径上的点必定都是不重复的。但当有负权环时，这句话就不成立了。
比如负权环章节的程序运行后，pre数组为[-1, 3, 1, 2, 1]，寻找从起点0到3的最短路径，会发现，上述步骤会一种进行下去，因为到达不了终点，死循环了（虽然这里程序是用的递归）。

#此程序用pre数组的死循环来判断是否有负环
from queue import Queue
class Edge():
    def __init__(self,u,v,cost):
        self.u = u
        self.v = v
        self.cost = cost
nodenum = 5

edgeList = []
dis = [float("inf")]*nodenum
pre = [-1]*nodenum
know = [False]*nodenum#代表已在队列之中

edgeList.append(Edge(0,1,-1))
edgeList.append(Edge(1,2,3))
edgeList.append(Edge(3,1,1))
edgeList.append(Edge(1,3,2))
edgeList.append(Edge(1,4,2))
edgeList.append(Edge(0,2,4))
#edgeList.append(Edge(3,2,5))
edgeList.append(Edge(2,3,-5))
edgeList.append(Edge(4,3,-3))


edgenum = len(edgeList)

original = 0


def if_circle(pre):#判断是否有负权环，返回真假，如有负权环，并返回环
    prev = -1#设置环的起点
    circle = []#记录负权环
    def get(i):
        circle.append(i)
        if(i == -1):#到达了正常的终点，判断无负权环
            return False
        if(i == prev):#到达了不该达到的终点，判断有负权环
            return True
        return get(pre[i])

    for i in pre:
        if(i == -1):#超出索引限制了
            continue
        prev = i
        if(get(pre[i])):
            #传入参数直接是i的上一个顶点，直接传入i会出错
            return (True,circle)
        circle.clear()

    return (False,)


def SPFA(original):
    q = Queue()
    dis[original] = 0
    know[original] = True
    q.put(original)

    while(not q.empty()):
        current = q.get()
        know[current] = False
        flag = False
        #循环遍历current的邻接顶点
        for edge in edgeList:
            if(edge.u == current):#current点的邻接边
                temp = dis[edge.u] + edge.cost
                if(temp < dis[edge.v]):#松弛操作
                    dis[edge.v] = temp
                    pre[edge.v] = current
                    if(if_circle(pre)[0]):
                        print('有负环为',if_circle(pre)[1])
                        print(dis)
                        print(pre)
                        flag = True
                        break
                    if(not know[edge.v]):
                        q.put(edge.v)
                        know[edge.v] = True
        if(flag == True):
            break
        print('当前出队的元素为',current)
        print(dis)
        print(pre,'\n')

SPFA(original)
print('\n',dis)
print(pre)

通过这种方式，程序可以很快地判断出来负权环（程序只出队了4次就判断出来了）。且得到了负权环的组成的点[2, 1, 3]。