匀速贝塞尔曲线运动的实现

原文链接： https://www.iteye.com/blog/as3-865587

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二次贝塞尔曲线通常以如下方式构建，给定二维平面上的固定点P0,P1,P2，用B(t)表示该条曲线 


 


用一个动画来演示，可以更加清楚的表明这条曲线的构建过程 

如果t变量本身线形变化的话，这条贝塞尔曲线本身的生成过程是并不是匀速的，通常都是两头快中间慢。 

如何想要得到匀速的贝塞尔曲线运动呢？比如我们在某款游戏中设计了一条贝塞尔曲线的路径，如何实现玩家匀速在这条路径上运动呢？ 
思考这个算法颇费了一番脑筋，其间还得到数学牛人Charlesgao的帮助，非常感谢他（比较糗的是，我问问题的时候就把其中的一个公式搞错了，见笑了-_-!)。 

首先需要求得B(t)相对于t的速度公式s(t) 

 



为了简化公式，我们定义如下变量 

 



计算出的s(t)可以表达为 

 



其中A,B,C是根据P0,P1,P2计算出的常数 

 



根据这个公式，求得贝塞尔曲线的长度公式L(t) 

 



设t`就是能够使L实现匀速运动的自变量，那么显然L(t`)=L(1.0)*t，即 

 



由于L(t)函数非常复杂，直接求逆函数的表达式几乎不可能，还好我们可以知道它的导数为s(t)，在实际使用中，可以使用牛顿切线法求出近似解。其迭代算法可以表达为 

 



我写了一个测试程序用于验证该算法，运算结果如下，可以看到，这条曲线已经是以匀速方式生成的了 ^_^ 

 

完整的示例源代码: 

#include 
#include 
#include 

//三个控制点
POINT P0={50,50},P1={500,600},P2={800,200};

int ax = P0.x-2*P1.x+P2.x;
int ay = P0.y-2*P1.y+P2.y;
int bx = 2*P1.x-2*P0.x;
int by = 2*P1.y-2*P0.y;

double A = 4*(ax*ax+ay*ay);
double B = 4*(ax*bx+ay*by);
double C = bx*bx+by*by;

//曲线总长度
double total_length = 0.0;

//曲线分割的份数
const int STEP = 70;

//用于保存绘制点数据的数组
POINT pixels[STEP];

//-------------------------------------------------------------------------------------
//速度函数
/*
s(t_) = Sqrt[A*t*t+B*t+C]
*/
double s(double t)
{
	return sqrt(A*t*t+B*t+C);
}

//-------------------------------------------------------------------------------------
//长度函数
/*

L(t) = Integrate[s[t], t]

L(t_) = ((2*Sqrt[A]*(2*A*t*Sqrt[C + t*(B + A*t)] + B*(-Sqrt[C] + Sqrt[C + t*(B + A*t)])) + 
			(B^2 - 4*A*C) (Log[B + 2*Sqrt[A]*Sqrt[C]] - Log[B + 2*A*t + 2 Sqrt[A]*Sqrt[C + t*(B + A*t)]]))
				/(8* A^(3/2)));
*/
double L(double t)
{
	double temp1 = sqrt(C+t*(B+A*t));
	double temp2 = (2*A*t*temp1+B*(temp1-sqrt(C)));
	double temp3 = log(B+2*sqrt(A)*sqrt(C));
	double temp4 = log(B+2*A*t+2*sqrt(A)*temp1);
	double temp5 = 2*sqrt(A)*temp2;
	double temp6 = (B*B-4*A*C)*(temp3-temp4);
	
	return (temp5+temp6)/(8*pow(A,1.5));
}

//-------------------------------------------------------------------------------------
//长度函数反函数，使用牛顿切线法求解
/*
	X(n+1) = Xn - F(Xn)/F'(Xn)
*/
double InvertL(double t, double l)
{
	double t1=t, t2;
	
	do
	{
		t2 = t1 - (L(t1)-l)/s(t1);
		if(abs(t1-t2)<0.000001) break;
		t1=t2;
	}while(true);
	return t2;
}

//-------------------------------------------------------------------------------------
LRESULT CALLBACK _WndProc(HWND hWnd, UINT message, WPARAM wParam, LPARAM lParam)
{
	switch (message) 
	{
	case WM_TIMER:
		{
			static nIndex = 0;
			if(nIndex>=0 && nIndex<=STEP)
			{
				double t = (double)nIndex/STEP;
				//如果按照线形增长,此时对应的曲线长度
				double l = t*total_length;
				//根据L函数的反函数，求得l对应的t值
				t = InvertL(t, l);

				//根据贝塞尔曲线函数，求得取得此时的x,y坐标
				double x = (1-t)*(1-t)*P0.x +2*(1-t)*t*P1.x + t*t*P2.x;
				double y = (1-t)*(1-t)*P0.y +2*(1-t)*t*P1.y + t*t*P2.y;

				//取整
				pixels[nIndex].x = (int)(x+0.5);
				pixels[nIndex].y = (int)(y+0.5);

				nIndex++;
				InvalidateRect(hWnd, 0, 0);
			}
			else
			{
				KillTimer(hWnd, 101);
			}
		}
		break;
	case WM_PAINT:
		{
			PAINTSTRUCT ps;
			HDC hdc = BeginPaint(hWnd, &ps);
			::MoveToEx(hdc, P0.x, P0.y, 0);
			LineTo(hdc, P1.x, P1.y);
			LineTo(hdc, P2.x, P2.y);

			for(int i=0; i