拉普拉斯变换理解

傅立叶变换能够把任何连续周期信号由一组适当的正弦曲线逼近的表示出来 傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。然后，和傅立叶变换对应的是反傅立叶变换。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后再可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。因此，傅立叶变换的物理意义可以理解为，在时域表示的信号，通过傅立叶变换分解为多个正弦信号的叠加，这样每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征了。傅里叶变换之后的信号通常被称为频谱，频谱又包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，傅立叶变换显得尤为重要。
那么，既然傅立叶变换如此重要，为什么还有拉普拉斯变换及Z变换呢？原因就在傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。因此，拉普拉斯便将傅立叶的理论进行了推广，发展出了拉普拉斯变换。
在自然界，指数信号ex是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。所以说，傅立叶变换可以看成是拉普拉斯变换的一种特殊形式，即所乘的指数信号为e0。也就是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。所以在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。
但是自然界中的信号除了连续信号之外，还有大量的不连续信号，即离散信号。考虑到这个问题，Z变换便应运而生了，Z变换可以说就是针对离散信号与系统的拉普拉斯变换，所以Z变换的重要性也就不言而喻了，当然也就很容易理解Z变换和傅里叶变换以及拉普拉斯变换之间的关系了。Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系，z=eTs。在Z变换中，单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。
正是傅立叶变换、拉普拉斯变换及Z变换这些数学变换的产生与发展才推动了信号与系统的前进，才带来了我们如今高效、便捷的信息时代。所以说，对信号进行数学变换有着重要的物理意义，我们必须认真学习这些数学变换，这样才能更好的掌握信号与系统的学习，才能更好的认识我们的信息社会。