关系数据库之关系代数
关系数据库的关系代数运算符有8种，分为两大类，如下表所示：
| 分类 | 运算符 | 含义 |
|---|---|---|
| 传统关系运算符 | ∪ ∪ ∪ | 并 |
| − − − | 差 | |
| ∩ ∩ ∩ | 交 | |
| × × × | 笛卡尔积 | |
| 专用关系运算符 | σ | 选择 |
| ∏ | 投影 | |
| ⋈ | 连接 | |
| ÷ | 除 |
1 传统的关系运算
传统的集合运算是二元运算，包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。设有两关系R、S。
1.1 并 union
关系R与关系S的并记作： R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R\cup S=\{t\ |\ t\in R \lor t\in S\} R∪S={t ∣ t∈R∨t∈S}即合并R和S所有元组
1.2 交 intersection
关系R与关系S的交记作： R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R\cap S=\{t\ |\ t\in R \land t\in S\} R∩S={t ∣ t∈R∧t∈S}关系的交也可用差来表示： R ∩ S = R − ( R − S ) R\cap S=R-(R-S) R∩S=R−(R−S)即取出R与S中共有的元组
1.3 差 except
关系R与关系S的差记作： R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∉ S } R- S=\{t\ |\ t\in R \land t\notin S\} R−S={t ∣ t∈R∧t∈/S}即去掉R中属于S的元素
1.4 笛卡尔积 cartesian product
关系R与关系S的并记作： R × S = { t R t S ⌢ ∣ t R ∈ R ∧ t S ∈ S } R\times S=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S}\ |\ t_R\in R \land t_S\in S\} R×S={tRtS⌢ ∣ tR∈R∧tS∈S}这里的笛卡尔积指的是广义笛卡尔积，对元组进行笛卡尔积有点类似于小学数学课上学过的握手游戏。
对于 R × S R\times S R×S来说，表示每个R中的元组都要与S中的元组连接一次
1.5 传统关系运算举例
设 R R R:
| color | pattern | size |
|---|---|---|
| 红 | A | 5 |
| 红 | B | 10 |
| 蓝 | B | 5 |
S S S:
| color | pattern | size |
|---|---|---|
| 红 | B | 10 |
| 红 | C | 10 |
| 蓝 | B | 5 |
则有：
- R R R与 S S S的并 R ∪ S R\cup S R∪S:
| color | pattern | size |
|---|---|---|
| 红 | A | 5 |
| 红 | B | 10 |
| 蓝 | B | 5 |
| 红 | C | 10 |
- R R R与 S S S的交 R ∩ S R\cap S R∩S:
| color | pattern | size |
|---|---|---|
| 红 | B | 10 |
| 蓝 | B | 5 |
- R R R与 S S S的差 R − S R- S R−S:
| color | pattern | size |
|---|---|---|
| 红 | A | 5 |
- R R R与 S S S的笛卡尔积 R × S R\times S R×S：
| R.color | R.pattern | R.size | S.color | S.pattern | S.size |
|---|---|---|---|---|---|
| 红 | A | 5 | 红 | B | 10 |
| 红 | A | 5 | 红 | C | 10 |
| 红 | A | 5 | 蓝 | B | 5 |
| 红 | B | 10 | 红 | B | 10 |
| 红 | B | 10 | 红 | C | 10 |
| 红 | B | 10 | 蓝 | B | 5 |
| 蓝 | B | 5 | 红 | B | 10 |
| 蓝 | B | 5 | 红 | C | 10 |
| 蓝 | B | 5 | 蓝 | B | 5 |
2 专用的关系运算
专用的关系运算符包括选择、投影、连接、除运算
在具体介绍运算符之前为了方便表达，先引入几个符号：
- R R R：关系。 R = { r 1 , r 2 , . . . , r n } R=\{r_1,r_2,...,r_n\} R={r1,r2,...,rn}，其中 r i r_i ri表示 R R R中的列。类似的， S S S等符号也代表一个关系
- t t t：元组。 t t t代表 R R R的某一行，称 t t t为元组。
- t [ r i ] t[r_i] t[ri]：分量。 t [ r i ] t[r_i] t[ri]表示 t t t行中 r i r_i ri列的值，称 t [ r i ] t[r_i] t[ri]为分量。
- Z t [ r i ] Z_{t[r_i]} Zt[ri]：象集。 Z t [ r i ] Z_{t[r_i]} Zt[ri]表示 t t t行中除 r i r_i ri列外其他列的值，称 Z t [ r i ] Z_{t[r_i]} Zt[ri]为象集。
- θ \theta θ：比较运算符。比较运算符有6种，分别是 = = =、 > > >、 ≥ \geq ≥、 < < <、 ≤ \leq ≤、 < > <> <>
2.1 选择 selection
选择关系运算记作： σ r i θ t [ r i ] ( R ) = { t ∣ t ∈ R ∧ r i θ t [ r i ] = t r u e } \sigma_{r_i\theta t[r_i]}(R)=\{\ t\ |\ t\in R\land r_i\theta t[r_i]=true\} σriθt[ri](R)={ t ∣ t∈R∧riθt[ri]=true}即取出 R R R表中 r i r_i ri列的值与 t [ r i ] t[r_i] t[ri]具有 θ \theta θ关系的行
例如：
σ S a g e < 20 ( S t u d e n t ) \sigma_{Sage<20}(Student) σSage<20(Student)表示取出 S t u d e n t Student Student表中 S a g e Sage Sage列值小于数值20的行
σ S n a m e = ′ 李 勇 ′ ( S t u d e n t ) \sigma_{Sname='李勇'}(Student) σSname=′李勇′(Student)表示取出 S t u d e n t Student Student表中 S n a m e Sname Sname列值等于字符串李勇的行
2.2 投影 projection
投影关系运算记作： ∏ r i ( R ) = { t [ r i ] ∣ t ∈ R } \prod\ _{r_i}(R)=\{t[r_i]\ |\ t\in R\} ∏ ri(R)={t[ri] ∣ t∈R}即取出 R R R表中的 r i r_i ri列
例如：
∏ S a g e ( S t u d e n t ) \prod\ _{Sage}(Student) ∏ Sage(Student)表示从表 S t u d e n t Student Student取出 S a g e Sage Sage列形成新的关系
∏ S a g e , S n a m e ( S t u d e n t ) \prod\ _{Sage,Sname}(Student) ∏ Sage,Sname(Student)表示从表 S t u d e n t Student Student取出 S a g e Sage Sage和 S n a m e Sname Sname列形成新的关系
2.3 连接 join
连接关系运算记作： r i θ r j R ⋈ S = { t R t S ∣ t R ∈ R ∧ t S ∈ R ∧ t R [ r i ] θ t S [ r j ] ⌢ } \overset{R\Join S}{_{r_{i}\theta r_{j}}}=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S\ |t_R\in R \land t_S\in R\land t_R[r_i]\theta t_S[r_j]\ }\} riθrjR⋈S={tRtS ∣tR∈R∧tS∈R∧tR[ri]θtS[rj] ⌢}即选取 R R R与 S S S的笛卡尔积中 t R [ r i ] t_R[r_i] tR[ri]与 t S [ r j ] t_S[r_j] tS[rj]满足关系 θ \theta θ的行
连接有四种特殊形式：
- 非等值连接。就是指 θ \theta θ不为等号的连接，例如 r i < r j R ⋈ S \overset{R\Join S}{_{r_{i}< r_{j}}} ri<rjR⋈S表示连接满足 R . r i < S . r j R.r_i
R.ri<S.rj 关系的 R R R与 S S S中的元组 - 等值连接。就是指 θ \theta θ为等号的连接，例如 r i = r j R ⋈ S \overset{R\Join S}{_{r_{i}=r_{j}}} ri=rjR⋈S表示连接满足 R . r i = S . r j R.r_i=S.r_j R.ri=S.rj关系的 R R R与 S S S中的元组
- 自然连接。自然连接是一种特殊的等值连接，就是 r i r_i ri与 r j r_j rj的属性名一致且值相等的等值连接，并在连接结果中去掉重复列，而在一般的等值连接中只需要满足 r i r_i ri与 r j r_j rj的值相等即可，记作 R ⋈ S R\Join S R⋈S。
- 外连接。外连接是一种特殊的自然连接，在自然连接的过程中，若连接后元组里的某个属性出现Null值就会舍去该元组，而外连接则会保留该元组。外连接分为三种：
- 1、外连接。保留两边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作 R : ⋈ : S R:\Join: S R:⋈:S
- 2、左外连接。保留左边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作 R : ⋈ S R:\Join S R:⋈S
- 3、右外连接。保留右边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作 R ⋈ : S R\Join: S R⋈:S
2.4 除 division
除关系运算记作： R ÷ S = { t R [ r i ] ∣ t R ∈ R ∧ ∏ r j ( S ) ⊆ r j t R [ r i ] } R\div S=\{\ t_R[r_i]\ |\ t_R\in R\land\prod\ _{r_j}(S)\subseteq r_{j\ t_R[r_i]}\ \} R÷S={ tR[ri] ∣ tR∈R∧∏ rj(S)⊆rj tR[ri] }即取出 R R R中使 R . r j R.r_j R.rj完全等于 S . r j S.r_j S.rj的 R . r i R.r_i R.ri元组
例如：
∏ S n a m e , S a g e ( R ) ÷ ∏ S a g e S \prod\ _{Sname,Sage}(R)\div \prod\ _{Sage}S ∏ Sname,Sage(R)÷∏ SageS表示取 R R R投影中使 R . S a g e R.Sage R.Sage完全等于 S . a g e S.age S.age的 R . n a m e R.name R.name元组，形成新的关系
2.5 专用关系运算举例
设 R R R:
| color | pattern | size |
|---|---|---|
| 红 | A | 5 |
| 红 | B | 6 |
| 蓝 | C | 8 |
| 蓝 | D | 12 |
S S S:
| pattern | weight |
|---|---|
| A | 3 |
| B | 7 |
| C | 10 |
| C | 2 |
| E | 2 |
- R R R的选择， σ c o l o r = ′ 红 ′ ( R ) \sigma_{color='红'}(R) σcolor=′红′(R)，取出 R R R表中 c o l o r color color列值为字符串’红’的行形成新的关系：
| color | pattern | size |
|---|---|---|
| 红 | A | 5 |
| 红 | B | 6 |
- R R R的投影， ∏ c o l o r , s i z e ( R ) \prod\ _{color,size}(R) ∏ color,size(R)，从表 R R R取出 c o l o r , s i z e color,size color,size列形成新的关系:
| color | size |
|---|---|
| 红 | 5 |
| 红 | 6 |
| 蓝 | 8 |
| 蓝 | 12 |
- R R R与 S S S的连接
非等值连接， s i z e < w e i g h t R ⋈ S \overset{R\Join S}{_{size< weight}} size<weightR⋈S，连接满足 s i z e < w e i g h t size< weight size<weight关系的 R R R与 S S S中的元组
| color | R.pattern | size | S.pattern | weight |
|---|---|---|---|---|
| 红 | A | 5 | B | 7 |
| 红 | A | 5 | C | 10 |
| 红 | B | 6 | B | 7 |
| 红 | B | 6 | C | 10 |
| 蓝 | C | 8 | C | 10 |
等值连接， R . p a t t e r n = S . p a t t e r n R ⋈ S \overset{R\Join S}{_{R.pattern= S.pattern}} R.pattern=S.patternR⋈S，连接满足 R . p a t t e r n = S . p a t t e r n R.pattern= S.pattern R.pattern=S.pattern关系的 R R R与 S S S中的元组
| color | R.pattern | size | S.pattern | weight |
|---|---|---|---|---|
| 红 | A | 5 | A | 3 |
| 红 | B | 6 | B | 7 |
| 蓝 | C | 8 | C | 10 |
| 蓝 | C | 8 | C | 2 |
自然连接， R ⋈ S R\Join S R⋈S，连接 R R R与 S S S中同名属性值相等的元组：
| color | pattern | size | weight |
|---|---|---|---|
| 红 | A | 5 | 3 |
| 红 | B | 6 | 7 |
| 蓝 | C | 8 | 10 |
| 蓝 | C | 8 | 2 |
外连接， R : ⋈ : S R:\Join: S R:⋈:S，保留两边关系自然连接后出现Null值属性的元组：
| color | pattern | size | weight |
|---|---|---|---|
| 红 | A | 5 | 3 |
| 红 | B | 6 | 7 |
| 蓝 | C | 8 | 10 |
| 蓝 | C | 8 | 2 |
| 蓝 | D | 12 | null |
| null | E | null | 2 |
左外连接， R : ⋈ S R:\Join S R:⋈S，保留左边关系自然连接后出现Null值属性的元组：
| color | pattern | size | weight |
|---|---|---|---|
| 红 | A | 5 | 3 |
| 红 | B | 6 | 7 |
| 蓝 | C | 8 | 10 |
| 蓝 | C | 8 | 2 |
| 蓝 | D | 12 | null |
右外连接， R ⋈ : S R\Join: S R⋈:S，保留右边关系自然连接后出现Null值属性的元组：
| color | pattern | size | weight |
|---|---|---|---|
| 红 | A | 5 | 3 |
| 红 | B | 6 | 7 |
| 蓝 | C | 8 | 10 |
| 蓝 | C | 8 | 2 |
| null | E | null | 2 |
- R R R的除运算
设有除关系 K K K
| color | size |
|---|---|
| 红 | 5 |
| 红 | 6 |
则 R ÷ K R\div K R÷K表示取出 R R R中使 R . c o l o r R.color R.color完全等于 S . c o l o r S.color S.color、 R . s i z e R.size R.size完全等于 S . s i z e S.size S.size的 R . p a r t t e n R.partten R.partten元组
| partten |
|---|
| A |