基于正则化的特征选择
此文写作尚不完整，有更深层需求的读者可参阅相关paper。
1、特征选择简述
降维，有时也可称为子空间学习，可以大致分为特征选择(feature selection)和特征提取(feature extraction)两大类，我们常说的主成分分析(PCA)、线性判别分析(LDA)、流形学习的代表—-局部线性嵌入(LLE)等，都是属于后者。特征提取，通常是将原始数据投影到一个新的空间，对于线性方法，就是学习一个投影矩阵W，使得投影后的数据最具有代表性信息(如PCA)，或者最具有区分性信息(如LDA)。从特征的数值来看，特征提取会改变原始数值，相当于生成了新的通常来说是更好的特征。在一些实际应用中，比如生物医学中的基因分析，需要找到某一种疾病跟哪些基因有关系（通常只跟个别或少数几个基因有较大关联），或者在文本挖掘中，需要找到一些关键的字词，这个时候，我们就不能改变原始的特征数值，因此传统的特征提取不能直接派上用场。有需求，就有市场，特征选择的提出，正式为了解决这一类问题。通过设计一些准则，特征选择算法可以挑出原始特征中比较有用的特征子集，而不会改变原始特征数值。下面给个图直观看一下两者的区别。
现有的特征选择算法，从不同的角度，可以分为不同的类型。按数据标签的获取情况，可以分为有监督、半监督和无监督特征选择；按是否需要额外的学习算法参与特征选择过程，以及具体的参与方式，可以分为封装型(wrapper)、嵌入式(embedded)和过滤型(filter)。再细致一些，可以分为基于信息论的特征选择、基于统计的特征选择、基于相似性的特征选择、基于稀疏学习的特征选择，等等。
上述提及的第一种分类方式，是机器学习中最为常见的，对于有监督/半监督方法利用标签的形式，有直接通过回归项引入标签信息，也有间接通过图来引入标签信息（即在构建图的过程中引入）。第二种分类方式，个人感觉在近年来，对某些方法的归属类别，不同学者开始出现一些分歧，原因可能跟近年来引起众多研究者关注的正则化技术有关，使得原本的界线划分变得比较模糊，不过也正说明，这种分类方式本身就没有一个很严格的定义，只是概念上的大致区分。最后提到的分类方式，是根据特征选择算法具体用到的准则/技术来划分，所以一种算法同时分属不同的类别也是可能的，我个人更乐意把这里所谓的类别名，称为某一算法的组成成分。在此篇博客中，我们主要关注基于正则化(regularization)的特征选择。
2、基于正则化的特征选择算法概览
先给出一些范数(norm)的定义和记法。向量 v∈Rn 的 ℓp -norm是 ∥v∥p=(∑ni=1|vi|p)1p ( p≠0 )， ℓ0 -norm是 ∥v∥0=∑ni=1|vi|0 （即 ℓ0 -norm是向量 v 中非零元素的个数）。矩阵 W∈Rd×m 的 ℓr,p -norm定义为 ∥W∥r,p=(∑di=1(∑mj=1|wij|r)pr)1p ( r≠0,p≠0 )，其中 ℓ2,2 -norm通常被称作F范数(Frobenius norm)， ℓ2,0 -norm定义为 ∥W∥2,0=∑di=1∥∑mj=1w2ij∥0 。值得注意的是，这里 ℓ0 -norm和 ℓ2,0 -norm并不是真正有效的范数定义，因为它们不满足范数的齐次性：对常数 λ ，有 ∥λv∥0=|λ|∥v∥0 ， ∥λW∥2,0=|λ|∥W∥2,0 。只不过为了表述的一致，这里仍用范数这一概念。
先入为主，来个总结强调：向量的 ℓ0 -norm是向量中非零元素的个数，矩阵的 ℓ2,0 -norm是矩阵的非零行的个数。特征选择任务直接引入这两个范数作为约束，好处是物理意义明确，我需要降到多少维（即选择多少特征），我就让非零元或非零行的个数为对应数值，这是个整数值，所以也方便调参，缺点是这两个范数会使目标式非凸，不利于优化求解。所以早期的算法中，通常是将这两个范数分别用 ℓ1 -norm和 ℓ2,1 -norm替代，一般作为正则项 引入，此两者虽然不具备特别明确的物理意义，但也具备使向量中的元素、矩阵中的行收缩(shrink)到0的功效，而且它们是凸的，便于优化求解。顺便提一句， ℓ1 -norm也被称作Lasso， ℓ2 -norm也被称作ridge回归， ℓ1 -norm和 ℓ2,1 -norm通常被用来获得鲁棒性或稀疏性。
下面旨在通过各目标函数，回顾各基于正则化的特征选择算法的主要思想，不涉及具体求解及优化细节，每小类仅选取4个代表方法，如前所述，这里的小类 可看作是算法的组成成分，所以一个算法可以同时属于多个小类，但本文中每个算法只在一个类中介绍。
2.1 基于回归
2.1.1 Lasso (1996)
Lasso 由Tibshirani于1996年提出，是一个带 ℓ1 -norm惩罚的回归问题，公式化表述如下：
其中， β=[β1,…,βd]T∈Rd 是回归系数，求解上式等价于最小化第一项回归项，并带有这样一个约束： ∑di=1|βi|≤ϵ , ( ϵ>0 )。前已述及， ℓ1 -norm会使得向量 β 中的部分元素（ λ 越大，为0/趋于0的元素越多）近似为0，我们可以将 β 中的元素的绝对值按从大到小的顺序排序，假如我们有6个特征，回归系数排完后是这样的： |β3|>|β4|>|β1|>|β2|>|β5|>|β6| ，回归系数绝对值越大，说明对应的特征越重要，所以，如果需要选择3个特征，自然就是第1、3、4号特征。
2.1.2 RFS (NIPS 2010)
RFS是一个有监督的特征选择方法，其目标函数为：
由于回归项采用了 ℓ2,1 -norm，所以RFS具有鲁棒特性，对回归系数矩阵W施加 ℓ2,1 -norm惩罚，使得W的部分行趋于零行，我们可以计算每一行的 ℓ2 -norm值，然后对这些值由大到小进行排序，选择 ℓ2 -norm值较大的行对应的特征。
2.1.3 ℓ2,0 -norm ALM (IJCAI 2013)
2.1.4 FSDL (AAAI 2014)
2.2 基于数据重构
2.2.1 CPFS (ICDM 2010)
2.2.2 RSR (PR 2015)
2.2.3 EUFS (AAAI 2015)
2.2.4 GRFS (TKDE 2015)
这个模型其实存在trivial solution。
2.3 基于伪标签
2.3.1 JELSR (IJCAI 2011)
2.3.2 RUFS (IJCAI 2013)
2.3.3 RSFS (ICDM 2014)
2.3.4 AUFS (IJCNN 2015)
2.4 基于结构保持
2.4.1 LDFS (ICDM 2010)
2.4.2 FSSL (IJCAI 2011)
2.4.3 UDFS (IJCAI 2011)
2.4.4 SOGFS (AAAI 2016)
3、特征选择相关资源
1. scikit-feature feature selection repository
2. Robust feature selection：gene expression data.rar