线性代数笔记6：行列式

大部分国内的线性代数都是从行列式开始讲起，这里只列出基本性质方便回顾。

行列式的几何意义

1. 行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或体积
2. 坐标系变换下的图形面积或体积的伸缩因子，即变换矩阵 A A

行列式的一般性质

1. |In|=det(In)=1 | I n | = d e t ( I n ) = 1
2. 设 A=(α1,...,αn),B=(α1,...αi−1,kαi,αi+1,...αn) A = ( α 1 , . . . , α n ) , B = ( α 1 , . . . α i − 1 , k α i , α i + 1 , . . . α n ) ,则 det(B)=k×det(A) d e t ( B ) = k × d e t ( A )
3. 设 A=A=(α1,...,αn),A′=(α1,...,α′i,...αn),B=(α1,...αi+α′i,..,αn) A = A = ( α 1 , . . . , α n ) , A ′ = ( α 1 , . . . , α i ′ , . . . α n ) , B = ( α 1 , . . . α i + α i ′ , . . , α n ) ,则 det(B)=det(A)+det(A′) d e t ( B ) = d e t ( A ) + d e t ( A ′ )
4. det(A)=det(AT) d e t ( A ) = d e t ( A T )
5. 任意交换 A A 的两列得到 A′ A ′ ，则 det(A)=−det(A′) d e t ( A ) = − d e t ( A ′ ) 。

推论

1. 若 A A 的两行（列）成比例，则 det(A)=0 d e t ( A ) = 0
2. 将 A A 的某一行（列）乘上一个倍数加到另外一列（行），得到矩阵 A′ A ′ ，则 det(A)=det(A′) d e t ( A ) = d e t ( A ′ )
3. 若 A A 是一个方阵，则 det(A)≠0⇔A可逆 d e t ( A ) ≠ 0 ⇔ A 可 逆
4. 设 A,B A , B 是两个 n n 阶方阵，则 |AB|=|A|×|B| | A B | = | A | × | B |
5. |A+B|≠|A|+|B|,|kA|≠k|A| | A + B | ≠ | A | + | B | , | k A | ≠ k | A |

行列式的计算

1. 直接利用公式计算

2. 使用代数余子式（algebraic complement）计算

   令 Cij=(−1)i+jdet(Mij) C i j = ( − 1 ) i + j d e t ( M i j ) ，则： det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+...+ainCin d e t ( A ) = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + . . . + a i n C i n

3. 综合利用消元法和降阶法

   典型例题：计算Vandermonde行列式

   ​ 证明 |λIm−AB|=λm−n|λIn−BA| | λ I m − A B | = λ m − n | λ I n − B A |

求逆矩阵

设 A=(aij)n×n A = ( a i j ) n × n 可逆，构造如下矩阵，称为 A A 的伴随矩阵(adjoint of A)：

adj(A)=⎛⎝⎜⎜⎜C11C21...Cn1C12C22...Cn2............C1nC2n...Cnn⎞⎠⎟⎟⎟T a d j ( A ) = ( C 11 C 12 . . . C 1 n C 21 C 22 . . . C 2 n . . . . . . . . . . . . C n 1 C n 2 . . . C n n ) T

A−1=adj(A)|A| A − 1 = a d j ( A ) | A |

r(A)=n⇒r(adj(A))=n r ( A ) = n ⇒ r ( a d j ( A ) ) = n

r(A)=n−1⇒A×(adj(A))=0 r ( A ) = n − 1 ⇒ A × ( a d j ( A ) ) = 0 ，因此 adj(A) a d j ( A ) 的列属于 A A 的零空间。而 dimN(A)=1⇒r(adj(A))=1 d i m N ( A ) = 1 ⇒ r ( a d j ( A ) ) = 1

r(A)≤n−2⇒A r ( A ) ≤ n − 2 ⇒ A 的任意n-1阶子矩阵都不可逆 ⇒Cij=0→adj(A)=0 ⇒ C i j = 0 → a d j ( A ) = 0

外积

给定两个向量 u=⎛⎝⎜u1u2u3⎞⎠⎟，v=⎛⎝⎜v1v2v3⎞⎠⎟，u×v=⎛⎝⎜u2v3−u3v2u3v1−u1v3u1v2−u2v1⎞⎠⎟ u = ( u 1 u 2 u 3 ) ， v = ( v 1 v 2 v 3 ) ， u × v = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 u 3 v 1 − u 1 v 3 u 1 v 2 − u 2 v 1 )

i,j,k为单位向量，相当于 i , j , k 为 单 位 向 量 ， 相 当 于 ∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣ | i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 | 的行列式计算

性质

1. u×v=−v×u→u×u=0 u × v = − v × u → u × u = 0
2. (u1+u2)×v=u1×v+u2×v ( u 1 + u 2 ) × v = u 1 × v + u 2 × v