支持向量机SVM通俗理解（python代码实现）

这是第三次来“复习”SVM了，第一次是使用SVM包，调用包并尝试调节参数。听闻了“流弊”SVM的算法。第二次学习理论，看了李航的《统计学习方法》以及网上的博客。看完后感觉，满满的公式。。。记不住啊。第三次，也就是这次通过python代码手动来实现SVM，才让我突然对SVM不有畏惧感。希望这里我能通过简单粗暴的文字，能让读者理解到底什么是SVM，这货的算法思想是怎么样的。看之前千万不要畏惧，说到底就是个算法，每天啃一点，总能啃完它，慢慢来还可以加深印象。
SVM是用来解决分类问题的，如果解决两个变量的分类问题，可以理解成用一条直线把点给分开，完成分类。如下：

上面这些点很明显不一样，我们从中间画一条直线就可以用来分割这些点，但是什么样的直线才是最好的呢？通俗的说，就是一条直线“最能”分割这些点，也就是上图中的直线。他是最好的一条直线，使所有的点都“尽量”远离中间那条直线。总得的来说，SVM就是为了找出一条分割的效果最好的直线。怎么样找出这条直线，就变成了一个数学问题，通过数学一步一步的推导，最后转化成程序。这里举例是二个特征的分类问题，如果有三个特征，分类线就变成了分类平面，多个特征的话就变成了超平面。从这个角度出发去看待SVM，会比较轻松。

数学解决方法大致如下：
目的是求最大分隔平面，也就是选取靠近平面最近的点，使这些点到分隔平面的距离W最大，是一个典型的凸二次规划问题。

但是上面需要求解两个参数w和b；于是为求解这个问题，把二次规划问题转换为对偶问题

这样就只需求一个参数a了，通过SMO算法求出a后，再计算出b

最后通过f(x)用做预测。

详细的数学推导，请看下面两个博客以及《统计学习方法》，这两位博主其实已经讲解的非常详细了。
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17291543
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837
《统计学习方法》这本书里面全是数学公式，非常“课本”，建议先看博客，有个大概印象再去看“课本”，跟着“课本”一步一步的推导。最后用python代码实现一遍，应该就可以拿下SVM了。

python代码实现可以加深对那些数学推导公式的印象，看公式的时候，可能会想，这些推导好复杂，都有些什么用啊，结果写代码的时候会发现，原来最后都用在代码里。所以写代码可以加深对SVM的理解。
下面是SVM的python代码实现，我做了详细的注释，刚开始看代码也会觉得好长好复杂，慢慢看后发现，代码就是照着SVM的数学推导，把最后的公式推导转化为代码和程序的逻辑，代码本身并不复杂。

from numpy import * 

def loadDataSet(filename): #读取数据
    dataMat=[]
    labelMat=[]
    fr=open(filename)
    for line in fr.readlines():
        lineArr=line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
        labelMat.append(float(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat #返回数据特征和数据类别

def selectJrand(i,m): #在0-m中随机选择一个不是i的整数
    j=i
    while (j==i):
        j=int(random.uniform(0,m))
    return j

def clipAlpha(aj,H,L):  #保证a在L和H范围内（L <= a <= H）
    if aj>H:
        aj=H
    if L>aj:
        aj=L
    return aj

def kernelTrans(X, A, kTup): #核函数，输入参数,X:支持向量的特征树；A：某一行特征数据；kTup：('lin',k1)核函数的类型和参数
    m,n = shape(X)
    K = mat(zeros((m,1)))
    if kTup[0]=='lin': #线性函数
        K = X * A.T
    elif kTup[0]=='rbf': # 径向基函数(radial bias function)
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j,:] - A
            K[j] = deltaRow*deltaRow.T
        K = exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #返回生成的结果
    else:
        raise NameError('Houston We Have a Problem -- That Kernel is not recognized')
    return K


#定义类，方便存储数据
class optStruct:
    def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):  # 存储各类参数
        self.X = dataMatIn  #数据特征
        self.labelMat = classLabels #数据类别
        self.C = C #软间隔参数C，参数越大，非线性拟合能力越强
        self.tol = toler #停止阀值
        self.m = shape(dataMatIn)[0] #数据行数
        self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
        self.b = 0 #初始设为0
        self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) #缓存
        self.K = mat(zeros((self.m,self.m))) #核函数的计算结果
        for i in range(self.m):
            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)


def calcEk(oS, k): #计算Ek（参考《统计学习方法》p127公式7.105）
    fXk = float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek

#随机选取aj，并返回其E值
def selectJ(i, oS, Ei):
    maxK = -1
    maxDeltaE = 0
    Ej = 0
    oS.eCache[i] = [1,Ei]
    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]  #返回矩阵中的非零位置的行数
    if (len(validEcacheList)) > 1:
        for k in validEcacheList:
            if k == i:
                continue
            Ek = calcEk(oS, k)
            deltaE = abs(Ei - Ek)
            if (deltaE > maxDeltaE): #返回步长最大的aj
                maxK = k
                maxDeltaE = deltaE
                Ej = Ek
        return maxK, Ej
    else:
        j = selectJrand(i, oS.m)
        Ej = calcEk(oS, j)
    return j, Ej


def updateEk(oS, k): #更新os数据
    Ek = calcEk(oS, k)
    oS.eCache[k] = [1,Ek]

#首先检验ai是否满足KKT条件，如果不满足，随机选择aj进行优化，更新ai,aj,b值
def innerL(i, oS): #输入参数i和所有参数数据
    Ei = calcEk(oS, i) #计算E值
    if ((oS.labelMat[i]*Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)): #检验这行数据是否符合KKT条件 参考《统计学习方法》p128公式7.111-113
        j,Ej = selectJ(i, oS, Ei) #随机选取aj，并返回其E值
        alphaIold = oS.alphas[i].copy()
        alphaJold = oS.alphas[j].copy()
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]): #以下代码的公式参考《统计学习方法》p126
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L==H:
            print("L==H")
            return 0
        eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j] #参考《统计学习方法》p127公式7.107
        if eta >= 0:
            print("eta>=0")
            return 0
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta #参考《统计学习方法》p127公式7.106
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L) #参考《统计学习方法》p127公式7.108
        updateEk(oS, j)
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < oS.tol): #alpha变化大小阀值（自己设定）
            print("j not moving enough")
            return 0
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])#参考《统计学习方法》p127公式7.109
        updateEk(oS, i) #更新数据
        #以下求解b的过程，参考《统计学习方法》p129公式7.114-7.116
        b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
        b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
        if (0 < oS.alphas[i]elif (0 < oS.alphas[j]else:
            oS.b = (b1 + b2)/2.0
        return 1
    else:
        return 0


#SMO函数，用于快速求解出alpha
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter,kTup=('lin', 0)): #输入参数：数据特征，数据类别，参数C，阀值toler，最大迭代次数，核函数（默认线性核）
    oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler, kTup)
    iter = 0
    entireSet = True
    alphaPairsChanged = 0
    while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:
            for i in range(oS.m): #遍历所有数据
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print("fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)) #显示第多少次迭代，那行特征数据使alpha发生了改变，这次改变了多少次alpha
            iter += 1
        else:
            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
            for i in nonBoundIs: #遍历非边界的数据
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print("non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
            iter += 1
        if entireSet:
            entireSet = False
        elif (alphaPairsChanged == 0):
            entireSet = True
        print("iteration number: %d" % iter)
    return oS.b,oS.alphas

def testRbf(data_train,data_test):
    dataArr,labelArr = loadDataSet(data_train) #读取训练数据
    b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, ('rbf', 1.3)) #通过SMO算法得到b和alpha
    datMat=mat(dataArr)
    labelMat = mat(labelArr).transpose()
    svInd=nonzero(alphas)[0]  #选取不为0数据的行数（也就是支持向量）
    sVs=datMat[svInd] #支持向量的特征数据
    labelSV = labelMat[svInd] #支持向量的类别（1或-1）
    print("there are %d Support Vectors" % shape(sVs)[0]) #打印出共有多少的支持向量
    m,n = shape(datMat) #训练数据的行列数
    errorCount = 0
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', 1.3)) #将支持向量转化为核函数
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b  #这一行的预测结果（代码来源于《统计学习方法》p133里面最后用于预测的公式）注意最后确定的分离平面只有那些支持向量决定。
        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): #sign函数 -1 if x < 0, 0 if x==0, 1 if x > 0
            errorCount += 1
    print("the training error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)) #打印出错误率
    dataArr_test,labelArr_test = loadDataSet(data_test) #读取测试数据
    errorCount_test = 0
    datMat_test=mat(dataArr_test)
    labelMat = mat(labelArr_test).transpose()
    m,n = shape(datMat_test)
    for i in range(m): #在测试数据上检验错误率
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat_test[i,:],('rbf', 1.3))
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict)!=sign(labelArr_test[i]):
            errorCount_test += 1
    print("the test error rate is: %f" % (float(errorCount_test)/m))

#主程序
def main():
    filename_traindata='C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\data\\traindata.txt'
    filename_testdata='C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\data\\testdata.txt'
    testRbf(filename_traindata,filename_testdata)

if __name__=='__main__':
    main()

样例数据如下：

训练数据：train_data

-0.214824   0.662756    -1.000000
-0.061569   -0.091875   1.000000
0.406933    0.648055    -1.000000
0.223650    0.130142    1.000000
0.231317    0.766906    -1.000000
-0.748800   -0.531637   -1.000000
-0.557789   0.375797    -1.000000
0.207123    -0.019463   1.000000
0.286462    0.719470    -1.000000
0.195300    -0.179039   1.000000
-0.152696   -0.153030   1.000000
0.384471    0.653336    -1.000000
-0.117280   -0.153217   1.000000
-0.238076   0.000583    1.000000
-0.413576   0.145681    1.000000
0.490767    -0.680029   -1.000000
0.199894    -0.199381   1.000000
-0.356048   0.537960    -1.000000
-0.392868   -0.125261   1.000000
0.353588    -0.070617   1.000000
0.020984    0.925720    -1.000000
-0.475167   -0.346247   -1.000000
0.074952    0.042783    1.000000
0.394164    -0.058217   1.000000
0.663418    0.436525    -1.000000
0.402158    0.577744    -1.000000
-0.449349   -0.038074   1.000000
0.619080    -0.088188   -1.000000
0.268066    -0.071621   1.000000
-0.015165   0.359326    1.000000
0.539368    -0.374972   -1.000000
-0.319153   0.629673    -1.000000
0.694424    0.641180    -1.000000
0.079522    0.193198    1.000000
0.253289    -0.285861   1.000000
-0.035558   -0.010086   1.000000
-0.403483   0.474466    -1.000000
-0.034312   0.995685    -1.000000
-0.590657   0.438051    -1.000000
-0.098871   -0.023953   1.000000
-0.250001   0.141621    1.000000
-0.012998   0.525985    -1.000000
0.153738    0.491531    -1.000000
0.388215    -0.656567   -1.000000
0.049008    0.013499    1.000000
0.068286    0.392741    1.000000
0.747800    -0.066630   -1.000000
0.004621    -0.042932   1.000000
-0.701600   0.190983    -1.000000
0.055413    -0.024380   1.000000
0.035398    -0.333682   1.000000
0.211795    0.024689    1.000000
-0.045677   0.172907    1.000000
0.595222    0.209570    -1.000000
0.229465    0.250409    1.000000
-0.089293   0.068198    1.000000
0.384300    -0.176570   1.000000
0.834912    -0.110321   -1.000000
-0.307768   0.503038    -1.000000
-0.777063   -0.348066   -1.000000
0.017390    0.152441    1.000000
-0.293382   -0.139778   1.000000
-0.203272   0.286855    1.000000
0.957812    -0.152444   -1.000000
0.004609    -0.070617   1.000000
-0.755431   0.096711    -1.000000
-0.526487   0.547282    -1.000000
-0.246873   0.833713    -1.000000
0.185639    -0.066162   1.000000
0.851934    0.456603    -1.000000
-0.827912   0.117122    -1.000000
0.233512    -0.106274   1.000000
0.583671    -0.709033   -1.000000
-0.487023   0.625140    -1.000000
-0.448939   0.176725    1.000000
0.155907    -0.166371   1.000000
0.334204    0.381237    -1.000000
0.081536    -0.106212   1.000000
0.227222    0.527437    -1.000000
0.759290    0.330720    -1.000000
0.204177    -0.023516   1.000000
0.577939    0.403784    -1.000000
-0.568534   0.442948    -1.000000
-0.011520   0.021165    1.000000
0.875720    0.422476    -1.000000
0.297885    -0.632874   -1.000000
-0.015821   0.031226    1.000000
0.541359    -0.205969   -1.000000
-0.689946   -0.508674   -1.000000
-0.343049   0.841653    -1.000000
0.523902    -0.436156   -1.000000
0.249281    -0.711840   -1.000000
0.193449    0.574598    -1.000000
-0.257542   -0.753885   -1.000000
-0.021605   0.158080    1.000000
0.601559    -0.727041   -1.000000
-0.791603   0.095651    -1.000000
-0.908298   -0.053376   -1.000000
0.122020    0.850966    -1.000000
-0.725568   -0.292022   -1.000000

测试数据：test_data

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为方便学习，免去下载步骤（下载需要积分），故直接将数据粘贴在上面，如若有异常，请下载csv格式的原始数据。
训练集和测试集数据下载地址：
http://download.csdn.net/download/csqazwsxedc/10271147

参考：
《统计学习方法》
《Machine Learning in Action》