解题笔记(25)——把数组排成最小的数

http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6704902

 问题描述:输入一个正整数数组,将它们连接起来排成一个数,输出能排出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{32,  321},则输出这两个能排成的最小数字32132。请给出解决问题的算法,并证明该算法。

      思路:先将整数数组转为字符串数组,然后字符串数组进行排序,最后依次输出字符串数组即可。这里注意的是字符串的比较函数需要重新定义,不是比较a和b,而是比较ab与 ba。如果ab < ba,则a < b;如果ab > ba,则a > b;如果ab = ba,则a = b。比较函数的定义是本解决方案的关键。

      证明:为什么这样排个序就可以了呢?简单证明一下。根据算法,如果a < b,那么a排在b前面,否则b排在a前面。可利用反证法,假设排成的最小数字为xxxxxx,并且至少存在一对字符串满足这个关系:a > b,但是在组成的数字中a排在b前面。根据a和b出现的位置,分三种情况考虑:

      (1)xxxxab,用ba代替ab可以得到xxxxba,这个数字是小于xxxxab,与假设矛盾。因此排成的最小数字中,不存在上述假设的关系。

      (2)abxxxx,用ba代替ab可以得到baxxxx,这个数字是小于abxxxx,与假设矛盾。因此排成的最小数字中,不存在上述假设的关系。

      (3)axxxxb,这一步证明麻烦了一点。可以将中间部分看成一个整体ayb,则有ay < ya,yb < by成立。将ay和by表示成10进制数字形式,则有下述关系式,这里a,y,b的位数分别为n,m,k。

        关系1: ay < ya => a * 10^m + y < y * 10^n + a => a * 10^m - a < y * 10^n - y => a( 10^m - 1)/( 10^n - 1) < y

        关系2: yb < by => y * 10^k + b < b * 10^m + y => y * 10^k - y < b * 10^m - b => y < b( 10^m -1)/( 10^k -1) 

        关系3: a( 10^m - 1)/( 10^n - 1) < y < b( 10^m -1)/( 10^k -1)  => a/( 10^n - 1)< b/( 10^k -1) => a*10^k - a < b * 10^n - b =>a*10^k + b < b * 10^n + a => a < b

       这与假设a > b矛盾。因此排成的最小数字中,不存在上述假设的关系。

       综上所述,得出假设不成立,从而得出结论:对于排成的最小数字,不存在满足下述关系的一对字符串:a > b,但是在组成的数字中a出现在b的前面。从而得出算法是正确的。

      参考代码:

[cpp] view plain copy print ?
  1. //重新定义比较函数对象   
  2. struct compare  
  3. {  
  4.     bool operator() (const string &src1, const string &src2)  
  5.     {  
  6.         string s1 = src1 + src2;  
  7.         string s2 = src2 + src1;  
  8.         return s1 < s2;   //升序排列,如果改为s1 > s2则为逆序排列  
  9.     }  
  10. };  
  11. //函数功能 : 把数组排成最小的数   
  12. //函数参数 : pArray为数组,num为数组元素个数     
  13. //返回值 :   无   
  14. void ComArrayMin(int *pArray, int num)  
  15. {  
  16.     int i;  
  17.     string *pStrArray = new string[num];  
  18.   
  19.     for(i = 0; i < num; i++) //将数字转换为字符串  
  20.     {     
  21.         stringstream stream;  
  22.         stream<
  23.         stream>>pStrArray[i];  
  24.     }  
  25.   
  26.     sort(pStrArray, pStrArray + num, compare()); //字符串数组排序  
  27.   
  28.     for(i = 0; i < num; i++) //打印字符串数组  
  29.         cout<
  30.     cout<
  31.   
  32.     delete [] pStrArray;  
  33. }  

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