数据结构与算法分析笔记（8）——二叉树和树

树是数据元素（结点）之间具有层次关系的非线性结构。在树结构中，除根以外的结点只有一个前驱结点，可以有零至多个后继结点。根结点没有前驱结点。

树定义

树（tree）是由n(n>=0)个结点组成的有限集合（树中元素通常称为结点）。n=0的树称为空树；n>0的树T 由以下两个条件约定构成：

1.有一个特殊的结点称为（root）的结点，它只有后续结点，它只有后续结点，没有前驱结点。

2.除根结点之外的其他结点分为m(m>=0)个互不相交的集合T0，T1，T2……Tm-1,其中每个集合Ti（0<=i<=m）本身又是一棵树，称为根的子树（subtree）。

树的术语

1.父母、孩子与兄弟结点

结点的前驱结点称为其父母（parent）结点，结点的后继结点称为其孩子（child）结点。一棵树中，只有根结点没有父母结点，其他结点有且只有一个父母结点。

拥有同一个父母结点的多个结点之间称为兄弟（sibling）结点。

结点的祖先（ancestor）是指其父母结点，以及父母的父母结点等，直至根结点。结点的后代（descendant，也称子孙）是指其所有孩子结点，以及孩子的孩子结点。

2.度

结点的度（degree）是结点所拥有子树的棵树。

度为0的结点称为叶子（leaf）结点，又称为终端结点；树中除叶子结点之外的其他结点称为分支结点，又称为非叶结点或非终端结点。

3.结点的层次、树的高度

结点的层次（level）属性反映结点处于树中的层次位置。约定根结点的层次为1，其他结点的层次是其父母结点的层次加1。

二叉树

二叉树：二叉树是n(n≥0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为根的左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。
二叉树的结点最多有两棵子树，且子树有左右之分，不可颠倒。这是二叉树和有序树的不同之处。

严格二叉树：所有结点的度都不为 1的非空二叉树。即结点或者是叶结点，或者度为2。英文翻译为 strictly binary tree or full binary tree or two-tree
满二叉树：所有叶子结点在同一层上，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值。英文翻译为perfect binary tree

满二叉树

一棵满二叉树t，高度为h，从第0层到第h层。第k层的结点数目为，总结点数目为

完全二叉树：除了最低层外，每一层都是满的，最低层上的叶结点尽可能地靠近左边。英文翻译为complete binary tree

完全二叉树 共n个结点，每一个结点都和同样深度的满二叉树的前n个编号的结点一一对应。若位置i处的结点有子结点，则其左子结点位置为2i+1，右子结点位置为2i+2。一棵完全二叉树的所有元素可以存储在一个数组里，位置i处的元素可以放在数组索引i处

二叉树的性质

性质1  在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。

    证明 采用归纳法证明此性质。

    当i=1时，只有一个根结点，2i-1=20 =1,命题成立。

    现在假定对所有的j，1<=j2j-2个结点，

    那么可以证明j＝i时命题也成立。由归纳假设可知，第i－1层上至多有2i-2个结点。

    由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第i层上最大结点数为第i－1

    层上最大结点数的二倍， 即2×（2i-2）＝2i-1。

性质2  深度为k的二叉树至多有2k－1个结点（k>=1)。

    证明  第i层的结点数为xi（1≤i≤k），深度为k的二叉树的结点数为M，xi最多为2i-1，则有：

性质3  对于一棵非空的二叉树，如果叶子结点数为n0，度数为2的结点数为n2，则有n0＝n2＋1。

    证明   设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，所以有：

N＝n0＋n1＋n2             (5-1)

    再看二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都有一个进入分支，设B为二叉树中的分支总数，则有：

N＝B＋1。

    由于这些分支都是由度为1和2的结点发出的，所以有：

      B＝n1+2*n2          

      N＝B＋1＝n1＋2×n2＋1      (5-2)

    由式(5-1)和(5-2)得到：

      n0＋n1＋n2 = n1＋2×n2＋1

      n0＝n2＋1

性质4  具有n个结点的完全二叉树的深度k为 。

   证明  设所求完全二叉树的深度为k,根据完全二叉树的定义和性质2可知，k-1层满二叉树的结点个数为n时，有

                     2k－1－1

即                       2k－1≤n<2k

对不等式取对数，有

                     k－1≤log2n

由于k是整数，所以有k-1＝，k=,结论成立。

    性质5  如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第 +1层，每层从左到右),则对任一结点i（1<=i<=n),有：

    （1）如果i＝1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点。

    （2）如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i。

    （3）如果2i＋1>n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i＋1。

    此外，若对二叉树的根结点从0开始编号，则相应的i号结点的双亲结点的编号为（i－1）/2，左孩子的编号为2i＋1，右孩子的编号为2i＋2。

    此性质可采用数学归纳法证明。证明略。

这个性质是一般二叉树顺序存储的重要基础。

二叉树的遍历

先根次序：访问根结点，遍历左子树，遍历右子树。

中根次序：遍历左子树，访问根结点，遍历右子树。

后根次序：遍历左子树，遍历右子树，访问根结点。