彻头彻尾的理解回溯算法

定义

在程序设计中,有相当一类求一组解,或求全部解或求最优解的问题,例如读者熟悉的八皇后问题,不是根据某种特定的计算法则,而是利用试探和回溯的搜索技术求解。回溯法也是设计递归过程的一种重要方法,它的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中。

---《数据结构》(严蔚敏)

怎么理解这段话呢?

首先,某种问题的解我们很难去找规律计算出来,没有公式可循,只能列出所有可能的解,然后一个个检查每个解是否符合我们要找的条件,也就是通常说的遍历。而解空间很多是树型的,就是树的遍历。

其次,树的先序遍历,也就是根是先被检查的,二叉树的先序遍历是根,左子树,右子树的顺序被输出。如果把树看做一种特殊的图的话,DFS就是先序遍历。所以,回溯和DFS是联系非常紧密的,可以认为回溯是DFS的一种应用场景。另外,DFS有个好处,它只存储深度,不存储广度。所以空间复杂度较小,而时间复杂度较大。

最后,某些解空间是非常大的,可以认为是一个非常庞大的树,此时完全遍历的时间复杂度是难以忍受的。此时可以在遍历的同时检查一些条件,当遍历某分支的时候,若发现条件不满足,则退回到根节点进入下一个分支的遍历。这就是“回溯”这个词的来源。而根据条件有选择的遍历,叫做剪枝或分枝定界。

DFS

首先看DFS,下面是算法导论上DFS的伪代码,值得一行行的去品味。需要注意染色的过程,因为图有可能是有环的,所以需要记录那些节点被访问过了,那些没有,而树的遍历是没有染色过程的。而且它用 π[m]来记录m的父节点,也就可以记录DFS时的路径。

DFS(G)
1  for each vertex u ∈ V [G]
2       do color[u] ← WHITE
3          π[u] ← NIL
4  time ← 0
5  for each vertex u ∈ V [G]
6       do if color[u] = WHITE
7             then DFS-VISIT(u)
DFS-VISIT(u)
1  color[u] ← GRAY
2  time ← time +1
3  d[u] <-time
4  for each v ∈ Adj[u]
5       do if color[v] = WHITE
6             then π[v] ← u
7                        DFS-VISIT(v)
8  color[u] <-BLACK

例子

例一求幂集问题,就是返回一个集合所有的子集。为什么叫幂集呢?因为一个集合有n个元素,那么它的所有的子集数是2^n个。比如[1,2,3]的子集是[],[1],[2],[3],[1,2],[1,3],[2,3],[1,2,3]。

也就是下面这棵树的叶子节点:

彻头彻尾的理解回溯算法_第1张图片

那问题就变成了如何输出一棵树的叶子节点。那就需要知道现在到底遍历到哪一层了。方法有很多,可以用全局变量记录,也可以用递归函数的参数记录。

A)这里是用全局变量记录,在进入函数的时候level++,退出函数的时候level--

int level=0;
vector > result;
vector temp;
void dfs(vector& S){
    level++;
    if(level>S.size()){
        result.push_back(temp);
        level--;
        return;
    }
    temp.push_back(S[level-1]);
    dfs(S);
    temp.pop_back();
    dfs(S);
    level--;
    return;
}
vector > subsets(vector& S){
    sort(S.begin(),S.end());
    dfs(S);
    reverse(result.begin(),result.end());
    return result;
}

B)这里记录层数用的是函数参数

vector > result;
vector temp;
void dfs(vector& S, int i){
    if(i==S.size()){
        result.push_back(temp);
        return;
    }
    temp.push_back(S[i]);
    dfs(S,i+1);
    temp.pop_back();
    dfs(S,i+1);
    return;
}
vector > subsets(vector& S){
    dfs(S,0);
    reverse(result.begin(),result.end());
    return result;
}

总结一下,伪代码就是:

void dfs(层数){

if(条件){

    输出;

}

else{

    左子树的处理;

    dfs(层数+1);

    右子树的处理;

    dfs(层数+1);

}

}

例二:皇后问题,比如8*8的棋盘,能摆放多少个皇后呢?国际象棋规则,皇后在同一行,同一列,同一斜线均可互相攻击。

伪代码如下:

int a[n];
void try(int i)
{
    if(i==n){
        输出结果;
         }
         else
         {
                   for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径
                   {
                            if(fun(j))                // 满足限界函数和约束条件
                            {
                                     a[i] = 1;
                                     ...                        // 其他操作
                                     try(i+1);
                                     a[j] = 0;
                            }
                   }
         }
 }

根据伪代码,写出最关键的一段代码如下。其中vector > m是全局变量,用来记录遍历轨迹,遍历前设上值,遍历后去掉。每一次调到output的时候,所有压入栈中的函数返回,都会调到m[level][i]=0;

void dfs(int level){  
    if(level==N){  
        output();  
    }  
    else{  
        for(int i=0;i

完整代码:

int N;  
vector > m;  
vector > result;  
bool check(int row,int column){  
            if(row==1) return true;  
            int i,j;  
            for(i=0;i<=row-2;i++){  
                if(m[i][column-1]==1) return false;  
            }  
            i = row-2;  
            j = i-(row-column);  
            while(i>=0&&j>=0){  
                if(m[i][j]==1) return false;  
                i--;  
                j--;  
            }  
            i = row-2;  
            j = row+column-i-2;  
            while(i>=0&&j<=N-1){  
                if(m[i][j]==1) return false;  
                i--;  
                j++;  
            }  
            return true;  
        }  
void output()  
{  
    vector vec;  
    for(int i=0;i > solveNQueens(int n) {  
    N=n;  
    for(int i=0;i a(n,0);  
        m.push_back(a);  
    }  
    dfs(0);  
    return result;  
}

例三: 数独问题,就是给出一个数独,解决它。

比如给出:

彻头彻尾的理解回溯算法_第2张图片

求解:

彻头彻尾的理解回溯算法_第3张图片

解空间是这样的:

彻头彻尾的理解回溯算法_第4张图片

由于数独都是9*9的,所以解空间有81层,每层有9个分支,我们做的就是遍历这个解空间。

如果只求一个解,那我们可以在得到解之后返回,而标记是否得到解可以用全局变量或返回值来做,

用全局变量的话,代码如下:

bool flag= false;
bool check(int k, vector > &board){
        int x=k/9;
        int y=k%9;
        for (int i = 0; i < 9; i++)
            if (i != x && board[i][y] == board[x][y])
                return false;
        for (int j = 0; j < 9; j++)
            if (j != y && board[x][j] == board[x][y])
                return false;
        for (int i = 3 * (x / 3); i < 3 * (x / 3 + 1); i++)
            for (int j = 3 * (y / 3); j < 3 * (y / 3 + 1); j++)
                if (i != x && j != y && board[i][j] == board[x][y])
                    return false;
        return true;
    }
void dfs(int num,vector > &board){
    if(num==81){
        flag=true;
        return;
    }
    else{
        int x=num/9;
        int y=num%9;
        if(board[x][y]=='.'){
            for(int i=1;i<=9;i++){
                board[x][y]=i+'0';
                if(check(num,board)){
                    dfs(num+1,board);
                    if(flag)
                        return;
                }
            }
            board[x][y]='.';
        }
        else{
            dfs(num+1,board);
        }
    }
}
void solveSudoku(vector > &board) {
    dfs(0,board);
}
用返回值的话,关键部分做一下修改就可以了:

 bool f(int i, vector > &board){
        if(i==n*m)
            return true;
        if(board[i/n][i%m]=='.'){
            for(int k=1;k<=9;k++){
                board[i/n][i%m]=k+'0';
                    if(check(i,board) && f(i+1,board))
                            return true;
            }
            board[i/n][i%m]='.';
            return false;
        }
        else
            return f(i+1,board);
    }

要求得到所有解的话,可以在解出现的时候存下来:

vector >> sum;
bool check(int k, vector > &board){
        int x=k/9;
        int y=k%9;
        for (int i = 0; i < 9; i++)
            if (i != x && board[i][y] == board[x][y])
                return false;
        for (int j = 0; j < 9; j++)
            if (j != y && board[x][j] == board[x][y])
                return false;
        for (int i = 3 * (x / 3); i < 3 * (x / 3 + 1); i++)
            for (int j = 3 * (y / 3); j < 3 * (y / 3 + 1); j++)
                if (i != x && j != y && board[i][j] == board[x][y])
                    return false;
        return true;
    }
void dfs(int num,vector > &board){
    if(num==81){
        sum.push_back(board);
        return;
    }
    else{
        int x=num/9;
        int y=num%9;
        if(board[x][y]=='.'){
            for(int i=1;i<=9;i++){
                board[x][y]=i+'0';
                if(check(num,board)){
                    dfs(num+1,board);
                    //if(flag)
                      //  return;
                }
            }
            board[x][y]='.';
        }
        else{
            dfs(num+1,board);
        }
    }
}
void solveSudoku(vector > &board) {
    dfs(0,board);
}
int main()
{
    vector myboard({"...748...","7........",".2.1.9...","..7...24.",".64.1.59.",".98...3..","...8.3.2.","........6","...2759.."});
    vector temp(9,'.');
    vector > board(9,temp);
    for(int i=0;i

最终,我们得到了8个解。

wiki上有一张图片形象的表达了这个回溯的过程:

彻头彻尾的理解回溯算法_第5张图片

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