Manacher算法解决最长回文子串问题-Java版

Manacher算法解决最长回文子串问题

最长回文子串问题,就是给定一个字符串,求出字符串中最长回文子串的长度。回文串就是从头到尾遍历和从尾到头遍历是一模一样的。
暴力求解,把字符串所有子串都找出来,再挨个判断是否为回文子串,再记录最长的长度,这个方法当然是可以的,但是复杂度太高!不推荐!
所以设计了Manacher算法(马拉车算法)用来解决最长回文子串问题

字符串初始化处理

奇数长和偶数长的回文子串的字符中心是不一样的,不好判断,为了解决这个问题,Manacher算法将所有字符串的长度都变成奇数,方法就是在原字符串的相邻字符之间加分隔符(比如说#),例如ababc,变成#a#b#a#b#c#;abab,变成#a#b#a#b#。所有字符串长度都是奇数,还不影响回文性。

回文半径存储数组的定义

Manacher算法还建立了一个辅助数组,用来存储以str[i]为中心的回文字符串的回文半径的长度。例如回文字符串:#a#b#a#b#a#,以第三个a为中心,即str[5]为中心,这个回文字符串的长度为11,而回文半径是回文字符串长度的一半,即(11+1)/2=6,(要包括回文中心字符),所以len[5]=6。
这里要注意一点的是:调整后加入#的字符串str,以str[i]为中心的回文字符串的长度为2×len[i]-1,而其中有len[i]个分隔符#,所以原字符串的长度为len[i]-1。也就是说最后只要输出len中最大的数字-1就是最长回文子串的长度。

回文半径存储数组的计算

Manacher算法的精髓就是只需要从头到尾遍历str一次!!!

如何实现呢?我们需要设置两个标志位centre和rightcentre是当前回文子串的中心点,right是当前回文子串的右边界(right并不包含在回文子串中!)。一开始初始化,centre=right=-1。当i从0遍历到str.length-1时,需要动态的改变centre和right值,就可以计算出以str[i]为中心的回文半径存入len数组中。

这里需要注意的是,i一定>=centre,有了i的推进,centre和right才会更新。

什么时候要改变centre和right值呢,有两大情况

  1. 当i值在right的左边:即 centre<=i,如下图
    图
    图中 l 是 以cen为中心的回文子串的左边界,j 为 i 以 cen 为中心的对称点。我们要时刻注意到回文特性str[l+1...cen-1]str[r-1...cen+1]是相同的,所以以 i 为中心的回文子串有可能与以 j 为中心的回文子串是一样的,至少有一部分是相同的。

    接下来,这里根据 以 j 为中心的回文子串的长度不同,会再细分成两种情况
    (1)以 j 为中心的回文子串很短,如下图
    图
    这种情况下,len[i]至少跟len[j]一样大,为什么至少一样大,什么时候len[i]比len[j]大呢,以上图为例,以 i 为中心的回文子串的右边界还可以向右扩展,这扩展的部分在 j 是无法匹配的。所以可以先将len[i]保存为len[j],再以i为中心左右两边扩展。

    (2)以 j 为中心的回文子串很长,如下图
    Manacher算法解决最长回文子串问题-Java版_第1张图片
    以 j 为中心的回文子串很长,可以看出左边界已经超过了 l ,但是以 i 为中心的回文字符长度,如果只按照回文性来判断,len[i]的值现在只能确定为 r-i ,len[i]所以 len[i] = r-i,再以i为中心左右两边扩展

    上面两个情况合并一下,即当i值在right的左边时,因为不知道当前j符合哪一种情况,所以 len=Math.min(len[2*cen-i], right-i),取两个中间的最小值即可。

  2. 当i值在right的右边:即 i>=right
    图
    说明以 i 为中心的回文子串还没有被访问过,所以当前len[i]的长度为1,即为i本身,再以i为中心左右两边扩展

Manacher算法-Java版

// 处理字符串
public static char[] manacherString(String str){
    char[] chars = str.toCharArray();
    char[] res = new char[chars.length*2+1];
    int index = 0;
    for(int i=0;ii时,Math.min(len[2*cen-i], right-i),两种情况取最小,往外扩
        // right<=i时,以i为中心的回文没有被访问过,所以当前回文字符串只有i,len[i]=1
        len[i] = right>i? Math.min(len[2*cen-i], right-i) : 1;
        
        // 以i为中心,左右扩
        while(i-len[i]>-1 && i+len[i]right){
            right = i + len[i];
            cen = i;
        }
        max = Math.max(max, len[i]);
    }
    return max-1;
}

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