微积分-刘建亚笔记

@(课程)[高数]

Chapter06 无穷级数

6.1 常数项级数的概念和性质

1. 若干概念：
   
   • （常数项）级数： ∑n=1∞un ，其中 ui 为常数
   • 通项（或一般项）： un
   • 部分和 Sn ： un 的前n项和；部分和数列： {Sn}
   • 级数收敛： Sn 在n趋于无穷时存在极限 S ，否则发散
2. 等比级数（几何级数）： un=aqn−1
   
   • 当 |q|<1 时，极限为 a1−q
   • 当 |q|≥1 时，等比级数发散

收敛级数的基本性质

1. 级数的每一项同乘一个不为零的常数，其敛散性不变。
2. 两个收敛级数可以逐项相加减。
3. 改变级数的有限项不改变级数的敛散性。
4. 若级数收敛，则对该级数各项按原次序任意分组加括号，新级数仍收敛且其和不变。
   推论：若加括号后发散，则原来的级数一定发散。
5. 级数收敛必要条件： limn→∞un=0 ，但反过来不一定成立（即不充分）。
6. 调和级数 un=1n 发散，证明：
   将 21 项，后面 22 项，……，后面 2m 项分组，
   (1+1/2)+(1/3+1/4)⋯+(12m+1+12m+2+⋯+12m+1)+⋯ ，
   此加括号级数部分和 Sm+1>1/2+1/2+cdots+1/2=12(m+1) ，故发散
7. 级数发散的充分条件： limn→∞un≠0