用递归来解决Hanoi塔问题

在大学里，Hanoi塔问题被视为学习递归的经典例子。希望这篇文章能给大家解惑。：)

在十九世纪末，欧洲风行的一种游戏。并大肆宣传说，布拉玛神庙的教士所玩的这种游戏结束之日就是世界毁灭之时。该塔由三根固定金刚石插针和堆放在一根针上有小到大的64个金属盘片组成，目的是借助于中间，从左边移到右边。规则是：一次移动一个盘；无论何时，小盘在上，大盘在下。( 取自百度百科 )

如下图：

首先我们把这个N层Hanoi塔抽象成两层（除了最底一层，其他为一个整体）。

接着我们来算下移动的次数：
0x01　　第N层（最底红色那层）从位置A到位置C，只需移动1次
0x02　　N-1层（整体）先从位置A到位置B，最后再到位置C，N-1层移动了两次。
0x03　　假设将N-1层从A移动到B需要 S (N-1) 次，所以我们可以得出

S(N) = 2 * S(N-1) + 1

当 N=1 时 S(1) = 2 * S(N-1) +1，成立
假设N=K时，成立。
显然这是个等比数列，q=2 , a1 = 1 .
所以有 S（K） = 2^K - 1 。
当N=K+1 ,有 S（K+1） = 2 * S（K）-1 =2*(2^K-1)+1 = 2^(k+1) -1

所以移动N层Hanoi塔，符合 2^N-1规律。

原图都是从网上找来的，只是稍加处理，懒~~

理解之后，用代码很快就能实现了，这里仅提供解法就不贴代码了（懒癌症又犯了 ）

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接下来是非常COOL的Idea （使用二进制来解决Hanoi塔问题）

这是从Youtube大神学到的，被翻译搬到Bilibili，地址如下：
https://www.bilibili.com/video/av7398130/

Hanoi塔算法与二进制计数自相似

eg:现在有三层Hanoi塔，共需要移动7次.

当第一个二进制位为1时，相应最上面的盘子移动到右边柱子。

当第二个二进制位为1时，移动第二盘子。

每次二进制进位，对应的盘子做出移动。

可以看出移动好三个盘子对应二进制数为 111 ，以此规律可以求出N盘子的Hanoi塔。

这很酷，是怎么办到的？
我们可以将上面得到的 2^N - 1 化成二进制，如2^3 - 1 = 0111 ， 这样一下子就看出来了，令人惊叹的巧合。

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仅仅这样子吗？相信我 ，你肯定想不到 ，原先的二进制解法转换成三进制。神奇的是，我们还可以用这个新的三进制解法，找到一条填满谢尔宾斯基三角形的分形曲线。将Hanoi塔抽象成N层递归N-1层，我们可以找到Hanoi与谢氏三角的共性——分形。

附上大佬链接：
https://www.bilibili.com/video/av7539453/ （看到好东西，总想安利给大家：P）