概率图模型1：隐马尔科夫(1)

作者：相国大人

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1. 导读

参考文献

• 《机器学习郑捷》第11章
• 机器学习周志华 14章
• 《统计学系方法》第10章
• 《概率图模型》第3章贝叶斯网表示和马尔科夫
• 《驾驭文本》

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隐马尔科夫模型

两个基本假设：

1. 齐次马尔科夫性假设：隐藏的马尔科夫链在任意时刻 t 的状态只依赖于前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关，也与时刻 t 无关。

2. 观测独立性假设：任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链的状态，与其他观测及状态无关。

说人话，就下面这个图，其中箭头和连边表示概率依赖。

从这个图中，我们可以很轻松的对后面的一些公式做推导。比如：

(ot+1|o1:t,It+1=qi)=(ot+1|It+1=qi)(1.1)

上面的公式为了书写简便，我们省略掉了概率符号 P （下同），并且用 o1:t 表示 (o1,⋯,ot) (下同)。

(It+1=qi|o1:t,It=qj)=(It+1=qi|It=qj)(1.2)

(ot+1:T|It+1=qi,It=qi)=(ot+1:T|It+1=qi)(1.3)

(ot+2:T|It+1=qj,ot+1)=(ot+2:T|It+1=qj)(1.4)

(It+1|o1:t,It)=(It+1|It)(1.5)

(ot+1|It+1,o1:t,It)=(ot+1|It+1)(1.6)

基本定义：

转移概率 aij=(It+1=qj|It=qi)

观测概率 bj(ot)=(ot|It=qj)

初始状态概率 πi=P(I1=qi)

隐马尔科夫模型的3个基本问题

1. 概率计算
2. 学习问题
3. 预测问题/解码问题

概率计算问题

前向算法

前向概率 αt(i)=(o1:t,It=qi)

转移概率 aij=(It+1=qj|It=qi)

观测概率 bj(ot)=(ot|It=qj)

初始状态概率 πi=P(I1=qi)

初始前向概率：

α1(i)=(o1,I1=qi)=(I1=qi)(o1|I1=qi)=πibi(o1)(1.8)

前向概率的迭代推导：

αt+1(i)=(o1:t+1,It+1=qi)=(o1:t,It+1=qi)(ot+1|o1:t,It+1=qi)=(o1:t,It+1=qi)(ot+1|It+1=qi)(由公式(1.1)得来)=(o1:t,It+1=qi)bi(ot+1)=⎛⎝∑j(o1:t,It=qj,It+1=qi)⎞⎠bi(ot+1)=⎛⎝∑j(o1:t,It=qj)(It+1=qi|o1:t,It=qj)⎞⎠bi(ot+1)=⎛⎝∑j(o1:t,It=qj)(It+1=qi|It=qj)⎞⎠bi(ot+1)(由公式(1.2)得来)=⎛⎝∑jαt(j)aji⎞⎠bi(ot+1)(1.9)

终止状态推导：

P(O|λ)=(o1:T|λ)=∑iN(o1:t,IT=qi)=∑iNαT(i)(1.10)

算法1.1(观测序列概率的前向算法)

输入：隐马尔科夫模型 λ ，观测序列 O ；

输出：观测序列概率 P(O|λ) 。

1. 根据公式 (1.8) ，设定初值。

2. 根据公式 (1.9) 递推。其中 t=1,2,⋯,T−1 。

3. 终止。根据公式 (1.10) 得到输出。

python实现（李航《统计学习方法》177页例题10.2）：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
"""
@author: XiangguoSun
@contact: [email protected]
@file: forward_prob.py
@time: 2017/3/13 8:53
@software: PyCharm
"""
import numpy as np


def forward_prob(model, Observe, States):
    '''
    马尔科夫前向算法
    '''

    A, B, pi = model
    N = States.size
    T = Observe.size

    alpha = pi*B[:, Observe[0]]
    print "（1）计算初值alpha_1(i):   ",alpha

    print "(2) 递推..."
    for t in xrange(0, T-1):
        print "t=", t+1,"   alpha_",t+1,"(i):",alpha
        alpha = alpha.dot(A)*B[:, Observe[t+1]]

    print "(3)终止。alpha_",T,"(i):    ", alpha
    print "输出Prob:  ",alpha.sum()
    return alpha.sum()


if __name__ == '__main__':
    A = np.array([[0.5, 0.2, 0.3],
                  [0.3, 0.5, 0.2],
                  [0.2, 0.3, 0.5]])

    B = np.array([[0.5, 0.5],
                  [0.4, 0.6],
                  [0.7, 0.3]])

    pi = np.array([0.2, 0.4, 0.4])

    model = (A, B, pi)

    Observe = np.array([0, 1, 0])

    States = np.array([1, 2, 3])

    forward_prob(model,Observe,States)

后向算法

后向概率： βt(i)=(ot+1:T|It=qi)

初始后向概率： βT(i)=1,i=1,2,⋯,N

后向概率迭代推导：

βt(i)=(ot+1:T|It=qi)=∑jN(ot+1:T,It+1=qj|It=qi)=∑jN(It+1=qj|It=qi)(ot+1:T|It+1=qj,It=qi)=∑jN(It+1=qj|It=qi)(ot+1:T|It+1=qj)(由公式(1.3)得到)=∑jN(It+1=qj|It=qi)(ot+1|It+1=qj)(ot+2:T|It+1=qj，ot+1)=∑jNaijbj(ot+1)βt+1(j)(1.11)

终止状态推导：

P(O|λ)=(o1:T|λ)=∑i=1N(o1:T,I1=qi)=∑i=1N(I1=qi)(o1:T|I1=qi)=∑i=1N(I1=qi)(o1|I1=qi)(o2:T|o1,I1=qi)=∑i=1Nπibi(oi)(o2:T|I1=qi)=∑i=1Nπibi(oi)β1(i)(1.12)

算法1.2(观测序列概率的后向算法)

输入：隐马尔科夫模型 λ ，观测序列 O ；

输出：观测序列概率 P(O|λ) 。

1. 设定后向概率初值为1。
2. 根据公式 (1.11) 递推。其中 t=T−1,T−2,⋯,1 。
3. 终止。根据公式 (1.12) 得到输出。

python实现（李航《统计学习方法》177页例题10.2）：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
"""
@author: XiangguoSun
@contact: [email protected]
@file: markov.py
@time: 2017/3/13 8:53
@software: PyCharm
"""
import numpy as np


def forward_prob(model, Observe, States):
    '''
    马尔科夫前向算法
    '''

    A, B, pi = model
    N = States.size
    T = Observe.size

    alpha = pi*B[:, Observe[0]]
    print "（1）计算初值alpha_1(i):   ",alpha

    print "(2) 递推..."
    for t in xrange(0, T-1):
        alpha = alpha.dot(A)*B[:, Observe[t+1]]
        print "t=", t + 1, "   alpha_", t + 1, "(i):", alpha

    print "(3)终止。alpha_",T,"(i):    ", alpha
    print "输出Prob:  ",alpha.sum()
    return alpha.sum()


def backward_prob(model,Observe,States):
    '''
      马尔科夫后向算法
      '''

    A, B, pi = model
    N = States.size
    T = Observe.size

    beta = np.ones((N,))  # beta_T
    print "（1）计算初值beta_",T,"(i):   ", beta

    print "(2) 递推..."
    for t in xrange(T - 2, -1, -1):  # t=T-2,...,0
        beta = A.dot(B[:, Observe[t + 1]] * beta)
        print "t=", t + 1, "   beta_", t + 1, "(i):", beta

    print "(3)终止。alpha_", 1, "(i):    ", beta
    prob = pi.dot(beta * B[:, Observe[0]])
    print "输出Prob:  ", prob
    return prob


if __name__ == '__main__':


    A = np.array([[0.5, 0.2, 0.3],
                  [0.3, 0.5, 0.2],
                  [0.2, 0.3, 0.5]])

    B = np.array([[0.5, 0.5],
                  [0.4, 0.6],
                  [0.7, 0.3]])

    pi = np.array([0.2, 0.4, 0.4])

    model = (A, B, pi)

    Observe = np.array([0, 1, 0])

    States = np.array([1, 2, 3])

    forward_prob(model,Observe,States)

    backward_prob(model, Observe, States)

实验结果：