统计学3：中心极限定理、参数估计：点估计和区间估计（置信区间）

1、中心极限定理 (Central Limit Theorem)

1）中心极限定理（就是描述样本均值的分布情况）

随着样本容量(Sample size) n趋于无穷，

• 样本均值(Sampling Distribution of the Sample Mean)的分布越接近正态分布
• 样本均值的标准差(Standard Error of the Mean) 变小：偏度(Skew)更接近于0，峰度(Kurtosis)也更接近于0
• 这里样本均值指的是选取多个样本，每个样本可以求出一个样本均值，多个样本均值的分布符合正态分布

• 大数定律 Law of Large Number：随着样本容量n越大，样本均值越接近总体均值

• 除了样本均值，样本众数、样本和，样本极差等统计量也适用

• 一般n>30即可看作样本均值为正态分布

2）样本均值的抽样分布
样本均值的标准差(Standard Error of the Mean)
$${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$
偏度 (Skew)

峰度(Kurtosis)

3）利用标准正态分布求概率的方法

1. 确定分布（均值$\mu$和标准差$\sigma$）与范围
2. 标准化，使其均值为0，标准差为1，得出标准正态变量Z，$Z\sim N\left(0,1\right)$
3. 查概率表

标准化是为了使其对应查找标准正态分布概率表




4）实例
（1）男性在户外活动时平均喝2L水（标准差是0.7L）。50人全天户外旅行，准备110L水．这些水不够的概率是多少？

1. 确定分布

• 50个人看作样本，样本容量 $n=50$

• 50人准备110L水，即平均喝水 $\overline{x}=110/50＝2.2L$，均值分布服从正态分布

• 求水不够的概率，等价于求平均喝水超过2.2L的概率$P\left(\overline{x}>2.2\right)=?$

• 样本均值抽样分布的标准差$${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\approx 0.099$$

2. 标准化
   $$z=\frac{\overline{x}-\mu }{\sigma }=\frac{2.2-2}{0.099}\approx 2.02$$
3. 查概率表
   查表可知$P\left(Z>2.02\right)=1-0.9783=0.0217$
   

2、参数估计：点估计

$$\begin{gathered} \overline{x}：样本均值 \\ \mu :总体均值 \\ \hat{\mu }:总体均值的点估计 \end{gathered}$$
均值的点估计：:$$\hat{\mu }=\overline{x}$$

$$\begin{gathered} S^2:样本方差 \\ {\sigma }^2:总体方差 \\ {\hat{\sigma }}^2:总体方差的点估计 \end{gathered}$$
方差的点估计（用样本数据估计总体方差）：$${\hat{\sigma }}^2=S^2=\frac{{\sum }_{(}x-\overline{x}{)}^2}{n-1}$$

2) 区间估计
其实就是求置信区间 见下

3、参数估计：区间估计——求置信区间

1）置信区间是什么？
在样本估计总体均值时，我们需要知道估计的准确度，因此选定一个区间[a,b]，目的是让这个区间包含总体均值，这个区间叫做置信区间。

对于这个区间有多大概率包含总体均值，这个概率称为置信水平，是我们对这个范围的可信程度。。置信水平是根据实际问题自己确定的，一般设定为95%即两个标准差。

2）怎么计算置信区间？（结合例子更具体的讲解可以看深入浅出统计学）
解题的时候要区分清楚哪些是样本统计量（已知），哪些是总体统计量（未知，通过点估计得出）

1. 选择总体统计量
   即确定你要求的那个总体均值 $\mu$
2. 求样本均值的抽样分布
   1)计算样本均值 $\overline{x}$
   2)计算样本均值标准差 ${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\approx \frac{S}{\sqrt{n}}$
   （由于事先我们并不知道总体的标准差。因此要用样本方差作为总体方差的估计（点估计），需注意是会跟随样本的变化而变化。）　
   3)得出样本均值的分布：$\overline{X}\sim N\left(\overline{x},{\sigma }_{\overline{x}}\right)$，因为这里就是通过样本均值估计总体均值的区间，所以把$\overline{x}$换成$\mu$，$\overline{X}\sim N\left(\mu ,{\sigma }_{\overline{x}}\right)$
3. 确定置信水平
4. 求出置信上下限
   1)当样本容量较大（>30）时，查找z表格；
   a. 标准化
   即把$\overline{X}\sim N\left(\mu ,{\sigma }_{\overline{x}}\right)$转换成标准正态分布$\overline{Z}\sim N\left(0,1\right)$，Z就是标准化后的$\overline{X}$ $$Z=\frac{\overline{x}-\mu }{{\sigma }_{\overline{x}}}$$
   b. 用$\mu$改写不等式
   （以置信水平为95%为例）
   $$\begin{gathered} P(-1.96<Z<1.96)=0.95 \\ P(-1.96<\frac{\overline{x}-\mu }{{\sigma }_{\overline{x}}}<1.96)=0.95 \end{gathered}$$
   其中$\overline{x}、{\sigma }_{\overline{x}}$已知，带入求出$a<\mu <b$即可得出置信区间(a,b)

置信区间简便算法，用下面的表可以取代第4步，直接带入求出

2)当样本容量较小（<30）时，为t分布，确定自由度(degrees of freedom) t=n-1，查找t分布表（跟正态分布的计算差别只在查表，其他都相同）

3）实例
(1) 某地区教学区获得一批技术拨款，用于在教师中安排4台一组的计算机．该区总共有6250名教师，随机抽取250名，并且问他们是否认为计算机是教师必备的教学工具．抽取的教师中，有142名认为计算机是教学必备的工具．

问题1：
计算一个99％置信区间，其中教师认为计算机是必备的教学工具．

定义：
1表示计算机被认为是必备工具，占比为p，
0表示计算机被认为不是必备工具，占比为q=1-p．

z表格的值应该为0.99/2+0.5＝0.995
对应2.58个标准差处
$0.568\pm 2.58\times 0.031=0.568\pm 0.08$
即 $0.488\sim 0.648=48.8\%\sim 64.8\%$
有99%的几率，48.8%~64.8%的老师认为计算机是必备的

问题2：
保持99％置信水平的前提下，如何缩小置信区间？

抽取更大的样本.

(2) 小样本容量置信区间
7个患者在服用新药3个月后测量血压．其血压上升值分别为1.5, 2.9, 0.9, 3.9, 3.2, 2.1, 1.9．为总体中所有病人的血压升高真正期望值建立一个95％的置信区间。

这里样本容量太小了，不能认为其样本均值为正态分布，不能使用中心极限理论。可以认为是t分布，查t分布表


即 $1.38\sim 3.3$

参考资料：
可汗学院统计学：https://www.bilibili.com/video/av7199273/?p=73
简客：https://jentchang.github.io/contents/math/statistical.html
《深入浅出统计学》