频率响应、零极点和系统稳定性

# 一、Laplace变换

如图所示一个低通滤波器，列基尔霍夫方程，得到线性微分方程： 

CdVCdt+VRR=0CdVCdt+VRR=0

 

正是因为电感电容的存在，使得电路方程出现微分、积分项。而Laplace变换将微分方程转化为线性代数方程，成为快速求解微分方程的有力工具。

但是列出电路的微分方程之后再进行Laplace变换，求解之后再进行反变换仍然很复杂，聪明的电子工程师们便想到直接将电路中的电阻器 (R)、 电容器 (C) 和电感元件 (L)变换到s域。

R	L	C
R	sL	1sC1sC

于是这个电路可以看作一个分压器

 

VC(s)Vin(s)=1/CsR+1/Cs=11+RCsVC(s)Vin(s)=1/CsR+1/Cs=11+RCs

 

下面便引出系统的传输函数。

二、传递函数

---

对于最简单的连续时间输入信号 x(t)x(t) , 和输出信号 y(t)y(t) 来说传递函数 H(s)H(s) 所反映的就是零状态条件下输入信号的拉普拉斯变换X(s)=L{x(t)}X(s)=L{x(t)} 与输出信号的拉普拉斯变换 Y(s)=L{y(t)}Y(s)=L{y(t)} 之间的线性映射关系：

 

Y(s)=H(s)X(s)Y(s)=H(s)X(s)

或者 

H(s)=Y(s)X(s)=L{y(t)}L{x(t)}H(s)=Y(s)X(s)=L{y(t)}L{x(t)}

 

而当系统为封闭回路的负反馈系统时：

由上图可得：

 

Y(s)=Z(s)G(s)⇒Z(s)=Y(s)G(s)Y(s)=Z(s)G(s)⇒Z(s)=Y(s)G(s)

 

X(s)−Y(s)H(s)=Z(s)=Y(s)G(s)⇒X(s)=Y(s)[1+G(s)H(s)]/G(s)X(s)−Y(s)H(s)=Z(s)=Y(s)G(s)⇒X(s)=Y(s)[1+G(s)H(s)]/G(s)

 

⇒Y(s)X(s)=G(s)1+G(s)H(s)⇒Y(s)X(s)=G(s)1+G(s)H(s)

 

三、零极点

---

传递函数可以写成如下更加普遍的形式： 

X(s)=N(s)D(s)=M∏Ri=l(s−βi)∏Rj=l(s−αj)X(s)=N(s)D(s)=M∏i=lR(s−βi)∏j=lR(s−αj)

所有让分母 D(s)D(s) 为0等点 szsz 为系统的零点； 
所有让分子 N(s)N(s) 为0等点 spsp 为系统的零点；

 

考虑一个由一个零点和两个极点组成的系统，在极坐标上表示为下图：

从上图中可以看出傅立叶变换和拉普拉斯变换的关系： 
傅立叶变换为拉普拉斯变换在s平面虚轴 jωjω 上的求值。

由此，引出波特图。

四、波特图

---

从上图中可以看到，系统的传递函数 H(Jω)H(Jω) 其实就是将复平面中极点零点到虚轴上某一点的向量相乘除：

 

H(jω)=N⃗ M1→M2→=z1−jω(p1−jω)(p2−jω)H(jω)=N→M1→M2→=z1−jω(p1−jω)(p2−jω)

 

表示为幅度（取对数）和相位：

 

20log10|H(jω)|=20log10|z1−jω||p1−jω||p2−jω|20log10⁡|H(jω)|=20log10⁡|z1−jω||p1−jω||p2−jω|

 

∠H(jω)=ej(α1−α2−α3)∠H(jω)=ej(α1−α2−α3)

 

其中 α1,α2,α3α1,α2,α3 为图中向量的角度，由此便可以画出波特图。

下面以一个低通RC滤波器电路举例：

 

H(jf)=11+j2πfRCH(jf)=11+j2πfRC

 

ωc=1RCωc=1RC

 

H(jω)=11+jωωcH(jω)=11+jωωc

 

画出波特图如下：

下面介绍如何得到上图。

增益图

 

AvdB=20log|H(jω)|=20log1∣∣1+jωωc∣∣AvdB=20log⁡|H(jω)|=20log⁡1|1+jωωc|

 

=−20log∣∣∣1+jωωc∣∣∣=−10log[1+ω2ω2c]=−20log⁡|1+jωωc|=−10log⁡[1+ω2ωc2]

 

• 在角频率小于ωcωc 时，因ωωcωωc 项较小，相对 1 而言可以忽略，因此其增益值为定值1，在增益图上是一条位在 0dB 的水平线
• 在角频率大于ωcωc 时，因ωωcωωc 项较大，相对而言 1 可以忽略，因此式子简化为 −20logωωc−20log⁡ωωc , 是斜率为-20dB/十倍频的斜线
• 在角频率等于ωcωc 时，−10log[1+ω2ω2c]=−10log2=−3dB−10log⁡[1+ω2ωc2]=−10log⁡2=−3dB，因此该点为 -3dB 转折点

相位图

 

φ=−tan−1ωωcφ=−tan−1⁡ωωc

 

• 其中 ωω , ωcωc 分别是输入角频率及截止角频率。 当输入角频率远小于截止角频率时，ωωcωωc比例的数值很小，因此相位角接近零度。
• 当频率增加，相位角的绝对值也随之增加。在时 ω=ωcω=ωc 时 为-45度。
• 当输入角频率远大于截止角频率时，相位角会趋近-90度。

关于波特图一点说明

注意 ：通常我们说波特图中遇到一个极点幅度开始以20dB／十倍频的斜率下降，在极点处相移为-45度；零点则是幅度上升，相移45度。

有人会疑问零点、极点不应该使得传递函数为零或者无穷大吗？

其实从s平面那幅图可以看出，其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点。只有当零点或者极点真的出现在虚轴 jωjω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。

五、稳定性

巴克豪森判据：

对于一个负反馈系统：

 

YX(s)=H(s)1+βH(s)YX(s)=H(s)1+βH(s)

如果 βH(s)=−1βH(s)=−1 则增益为无穷，电路产生振荡，此条件可表达为：

 

 

|βH(s)|≥1|βH(s)|≥1

 

∠βH(s)=−180o∠βH(s)=−180o

 

上式可以理解为，输入信号经过正向通路以及反馈回路一圈之后相移360度（环路增益的180度以及负反馈叠加点的180度），使得负反馈变成正反馈。此时如果环路增益的幅度大于1，则在输入信号上不断叠加一个放大了的信号，一个发散的数列不断叠加必然是无界的。

因此，避免振荡的放法就是在环路增益相移180度时，保证其幅度小于1。（收敛序列求和是有界的）

上图中定义了“增益交点GX“、“相位交点PX“、“相位裕度PM“等概念。（注意上图为环路增益的波特图）

奈奎斯特判据

如果将波特图绘制到极坐标系中，可以得到奈奎斯特图：

图中红色的线为传递函数曲线，其与单位圆的交点为GX点，与实轴的另一交点为PX点，并且能直观地看出相位裕度，增益裕度。

另外如果-1这个点不被传递函数曲线包围，则系统是稳定的。

六、反馈、相位裕度、稳定性的关系

相位裕度

此处参照sansen书中方法

定义开环增益

 

AO=GAO=G

闭环增益 

Ac=G1+GH≈1HAc=G1+GH≈1H

所以 

dB(AOAc)=dB(AO)−dB(Ac)≈dB(GH)dB(AOAc)=dB(AO)−dB(Ac)≈dB(GH)

 

图中 AOAO 曲线与 AcAc 曲线差就是环路增益，因此两条曲线（实线）交点对应的频率，也即AO/Ac=1AO/Ac=1，就是环路增益降到单位增益的频率。这个点就是增益交点，可以从这个点看相位裕度。

（思考的切入点：让两条曲线相交，其实在数学上是让两个函数相等）

GBW

上图定义出增益带宽积，在闭环增益（Y/X）图中，为主极点的下降曲线与横轴的交点出的频率（单位增益）。

 

20logAO−10log(1+(ωωmajor)2)=020log⁡AO−10log⁡(1+(ωωmajor)2)=0

得出 

ω≈AO×ωmajor≈Ac×ωcω≈AO×ωmajor≈Ac×ωc

 

注意： 
- GBW点其实是约等于的结果，但在对数图中可以看作不变。 
- 另外，对于多极点系统，还是看第一个主极点延长线与实轴的交点，即GBW=ω1⋅AOGBW=ω1⋅AO。 
- 反馈系数改变，闭环增益相位曲线 ∠YX(jω)∠YX(jω) 是会改变的；而环路增益相位曲线 ∠βH(jω)∠βH(jω) 不变。 
- sansen书中看闭环增益转折点求PM，其实它对应的是开环增益的相位图，如下图，所以不要被迷惑。之所以这样，是因为双极点系统，总相移肯定是180度。

而180度相移点是第二个极点再往右，若f2出现在GBW点右侧，则系统相对比较稳定。

相位裕度、极点位置、尖峰相互关系

环路增益越大（图中两条曲线相差越宽），PM越小。当PM很小的时候，闭环增益曲线就会产生尖峰。

开环增益

 

H(jω)=AO(1+jωω1)(1+jωω2)H(jω)=AO(1+jωω1)(1+jωω2)

闭环增益 

YX=H1+βH=AOβAO+jω(1ω1+1ω2)+(jω)2ω1ω2YX=H1+βH=AOβAO+jω(1ω1+1ω2)+(jω)2ω1ω2

 

因为 AO×ω1=GBWAO×ω1=GBW, 所以 

YX≈11+jωβGBW+(jω)2βGBWf2YX≈11+jωβGBW+(jω)2βGBWf2

 

=11+2ζωnjω+(jω)2(ωn)2=11+2ζωnjω+(jω)2(ωn)2

 

其中 ζζ 为阻尼因子，ωnωn 为谐振频率。

PM的求解需要解释一下：

因为 PM=180o+∠H(GX)PM=180o+∠H(GX)， 而对于双极点系统，有

 

∠ω=e−j(arctanωω1+arctanωω2)∠ω=e−j(arctan⁡ωω1+arctan⁡ωω2)

 

而对于 ω=GXω=GX 这个点，因为 GX>>ω1GX>>ω1 所以第一级已经达到90度相移。另外

 

GX=ω1(1+βAO)≈βω1AO=β⋅GBWGX=ω1(1+βAO)≈βω1AO=β⋅GBW

所以

 

 

PM=180o−90o−arctanGXω2=90o−arctanβ⋅GBWω2PM=180o−90o−arctan⁡GXω2=90o−arctan⁡β⋅GBWω2

 

可得

 

ωn=GBW⋅ω2⋅β−−−−−−−−−−−√ωn=GBW⋅ω2⋅β

 

ζ=12ω2GBW⋅β−−−−−−−−√ζ=12ω2GBW⋅β

 

PM=90o−arctanβ⋅GBWω2PM=90o−arctan⁡β⋅GBWω2

 

结论

由信号系统知识可知：

• ζ>1ζ>1， 二阶系统为两个实数极点，其实是两个一阶系统相乘；对应情况为第二个极点 ω2ω2 非常远（比如3GBW处，此时相位裕度60度～70度）；
• 0<ζ<10<ζ<1， 两个共轭极点，为一个谐振系统；在闭环传输函数转折点出现尖峰。
• 第二个极点越近（ω2ω2 越小），相位裕度越小，ζζ 越小，尖峰越高，越不稳定！

有激励的输入响应

如图，输入信号为 

1s−jω1s−jω

 

电路的传递函数为 

H(s)=1sRC+1H(s)=1sRC+1

 

所以输出信号(s域)为 

Vout(s)=1sRC+1⋅1s−jωVout(s)=1sRC+1⋅1s−jω

 

=As−jω+BsRC+1=As−jω+BsRC+1

 

其中 

A=1jωRC+1↔1(ωRC)2+1−−−−−−−−−−√⋅ej(−α)A=1jωRC+1↔1(ωRC)2+1⋅ej(−α)

 

B=−RCjωRC+1↔RC(ωRC)2+1−−−−−−−−−−√⋅e−jαB=−RCjωRC+1↔RC(ωRC)2+1⋅e−jα

 

1s−jω↔ejωt1s−jω↔ejωt

 

1sRC+1↔e−tRC1sRC+1↔e−tRC

 

所以输出信号时域为 

Vout(t)=1(ωRC)2+1−−−−−−−−−−√⋅ej(ωt−α)−RC(ωRC)2+1−−−−−−−−−−√⋅e−tRC⋅e−jαVout(t)=1(ωRC)2+1⋅ej(ωt−α)−RC(ωRC)2+1⋅e−tRC⋅e−jα

其中 

tanα=ωRCtan⁡α=ωRC

 

上式中，第一项为稳态响应，第二项是一个随时间衰减的量。这就解释了为什么我们要求系统的极点要在s平面的左半平面，这样系统才不会发散。

更新日志

2017年2月11日

来自eetop网友的两个问题补充。

问题原文：

楼主的文章仔细看过，写的很好，特来学习，有2个问题向楼主请教下:

1. 其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点，这个很难理解
2. 只有当零点或者极点真的出现在虚轴 jω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。比如一对虚轴上的共轭极点，计算确实使输出无穷大，但在时域上，对应的却是一个固定幅度的正弦波，并没有振荡啊，这怎么理解呢？

问题解释：

1. 问题一我觉得是因为术语的定义给人们带来了误解。

   我们在信号系统还有控制理论中学过的零极点，就是系统拉普拉斯变换后传输函数的分子分母解出来的根，这个根（零点极点）可以是整个s平面上任意一个点。但是很多书中讲传输函数，波特图时候并没有把这个零点，极点的概念讲清楚。 
   其实我们说系统遇到一个极点，波特图开始一个20dB／10倍频的下降，很多人下意识地认为波特图横坐标对应的那个频率值就是这个极点，这是错误的，这里应该是有一个s平面到bode图的映射的。

2. 问题二是正弦函数拉普拉斯变化引入的数学问题，正弦函数傅立叶变换本来就是两个冲击函数，反过来虚轴上两个共轭极点的逆变换是稳态的正弦波也就不足为奇。

   这个可以参考知乎上这个解答如何理解正弦函数的傅立叶变换？

   而且两个共轭极点构成一个二阶系统，二阶系统与一阶系统的分析方法有所不同。更高阶的系统最低能分解为多个一阶与二阶系统来分析。

原文链接：https://blog.csdn.net/maxwell2ic/article/details/52884914