多项式回归（polynomial regression）转换为线性回归（linear regression）
一、介绍
一元m次多项式回归方程：
二元二次多项式回归方程：
多元多次的多项式回归方程较复杂，加之实际生产生活中一元m次多项式归回就已经能够解决了，所以略！
对于一元m次多项式回归方程，令：
则该一元m次多项式就转化为m元线性回归方程：
因此，用多元线性函数的回归方法就可解决多项式回归问题！需要指出的是，在多项式回归分析中，检验回归系数
是否显著，实质上就是判断自变量x的i次方项
对因变量y的影响是否显著。
对于二元二次多项式回归方程，令：
则该二元二次多项式函数就转化为五元线性回归方程：
二、一元m次多项式回归的最小二乘解
用矩阵表示他们的关系：
用矩阵符号表示：
此处推导过程忽略（参考线性回归最小二乘解的推导过程，基本过程是对每一个参数求偏导，令偏导 = 0，解联立方程组即可），最小二乘法解：
三、Python环境下利用sklearn库写的简单示例
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
import matplotlib.pyplot as plt
# seed
rng = np.random.RandomState(123)
# construct samples. give a x, generate y with noise
def genY(x):
a0, a1, a2, a3, e = 0.1, -0.02, 0.03, -0.04, 0.05
yr = a0 + a1*x + a2*(x**2) + a3*(x**3) + e
y = yr + 0.03*rng.rand(1)
return y
# plot
plt.figure()
plt.title('polynomial regression(sklearn)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
x_tup = np.linspace(-1, 1, 30)
y = [genY(a) for a in x_tup]
print y
x = x_tup.reshape(-1,1)
y = np.array(y).reshape(-1,1)
plt.plot(x, y, 'k.')
qf = PolynomialFeatures(degree = 3)
qModel = LinearRegression()
qModel.fit(qf.fit_transform(x), y)
print '----'
print qf.get_params()
xp = np.linspace(-1, 2, 100)
yp = qModel.predict(qf.transform(xp.reshape(-1, 1)))
plt.plot(xp, yp, 'r-')
plt.show()注释：PolynomialFeatures类的成员函数fit_transform根据自变量元数和指数次数（degree）转换成线性回归中的自变量，然后利用线性回归LinearRegression进行拟合。运行结果如下：
四、除了利用最小二乘直接解出参数的值外，也可以用梯度下降法最小化损失函数来训练出参数的值
#-*- coding:utf-8 -*-
import numpy as np
import tensorflow as tf
import matplotlib.pyplot as plt
rng = np.random.RandomState(123)
def genY(x):
a0, a1, a2, a3, e = 0.1, -0.02, 0.03, -0.04, 0.05
yr = a0 + a1*x + a2*(x**2) + a3*(x**3) + e
y = yr + 0.03*rng.rand(1)
return y
plt.figure()
plt.title('polynomial regression(tensorflow)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
x = np.linspace(-1, 1, 30)
y = [genY(a) for a in x]
x = x.reshape(-1,1)
y = np.array(y).reshape(-1,1)
plt.plot(x, y, 'k.')
X = tf.placeholder('float')
Y = tf.placeholder('float')
W = tf.Variable([0.] * 4)
print W
def Model(x, w):
terms = []
for i in range(0, 4):
term = tf.multiply(w[i], tf.pow(x, i))
terms.append(term)
rs = tf.add_n(terms)
return rs
YModel = Model(X, W)
Cost = tf.reduce_sum(tf.square(Y - YModel))
LearnRate = 0.01
train_op = tf.train.GradientDescentOptimizer(LearnRate).minimize(Cost)
with tf.Session() as sess:
Init = tf.global_variables_initializer()
sess.run(Init)
for i in range(0, 100):
for (_x, _y) in zip(x, y):
sess.run(train_op, feed_dict = {X: _x, Y: _y})
print sess.run(W)
xp = np.linspace(-1, 2, 100)
yp = 0
for i in range(0, 4):
yp += sess.run(W)[i] * np.power(xp, i)
plt.plot(xp, yp, 'g-')
plt.show()