数据结构与算法视频学习笔记

概述

• 目标：时间效率高，存储量低

时间复杂度和空间复杂度

• 大O记法
• 常见的时间复杂度(从上到下，复杂度依次增加)
  O(1) 常数阶
  O(logn) 对数阶
  O(n) 线性阶
  O(nlog)
  O(n^2) 平方阶
  O(n^3) 立方阶
  O(2^n) 指数阶
  O(n!)
  O(n^n)
• 最坏情况和平均情况
• 空间复杂度

线性表

• 定义：由零个或多个数据元素组成的有限序列。
• 前驱，后继

• 抽象数据类型

  • eg: point(x,y,z)

  • 描述抽象数据类型的标准格式：

    ADT 抽象数据类型名
    Data
        数据元素之间逻辑关系的定义
    Operation
        操作
    endADT
    

• 示例1：A与B并集
• 线性表的存储结构：顺序存储结构、链式存储结构
• 顺序存储结构封装需要三个属性
  
  • 起始位置
  • 最大存储容量
  • 当前长度
• 插入操作、删除操作
• 线性表顺序存储结构：存、读数据时间复杂度是O(1),插入、删除时间复杂度是O(n)

• 链式存储结构

  • 结点（Node）
    
    • 数据域
    • 指针域
      
      • 指针/链
  • n个结点链接成一个链表
  • 单链表
    
    • 头指针：第一个结点的存储位置
      
      • 第一个结点的数据域一般不存储信息，也可以存放链表的长度
      • 头指针不能为空
    • null:最后一个结点指针为空

  • 添加结点：

    s->next = p->next  
    p->next = s
    

  • 删除结点：

    p->next = p->next->next

• 单链表的整表创建

  • 头插法
  • 尾插法
• 单链表的整表删除
• 顺序结构与链表的比较：
  
  • 顺序结构适合：经常查询的场合
  • 链表结构适合：经常插入和删除的场合
• 静态链表
  
  • 插入操作
  • 删除操作
• 循环链表
  
  • 初始化
  • 插入
  • 删除
• 双向链表：用空间换取时间
  
  • 插入：代码顺序很重要
  • 删除

单链表小结：腾讯面试题

题目：快速找到未知长度单链表的中间节点。
思路：使用快慢指针

约瑟夫问题

题目：一个圈，每报数到3，则自杀，直到所有人都自杀了。
思路：循环链表

判断单链表中有环

思路：快慢指针/一个指针每次走一步，另一个指针每次都从头走

魔术师发牌问题

拉丁方阵问题

栈

• 栈是一种重要的线性结构
• 栈是一个后进先出的线性表，它要求只在表尾进行删除和插入操作。
• 术语：
  
  • 栈顶(Top)
  • 栈底(Bottom)
  • 进栈（Push）
  • 出栈(Pop)
• 栈的顺序存储结构（常用）
• 栈的链式存储结构

将二进制数转换为十进制数，二进制转换为八进制

逆波兰计算器

中缀表达式转换为后缀表达式

队列

• 队列是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表。
• 先进先出
• 从后面入队列，从前面出队列
• 队列的顺序存储结构
• 队列的链式存储结构（常用）：链队列
• 循环队列

递归

• 递归效率低，最好用迭代代替
• 斐波那契数列的递归实现
• 递归实现字符串反向输出：利用了递归的回退
• 分治思想：
  
  • eg：折半查找

汉诺塔（递归）

八皇后问题（递归）

字符串

• String：串可以是空串
• BF算法
• KMP算法
  
  • 参考：http://kb.cnblogs.com/page/176818/

树

• 度：结点拥有的子树数
• 分支结点、叶节点
• 根为第一层
• 深度
• 森林

树的存储结构

• 双亲表示法
• 孩子表示法
• 双亲孩子表示法

二叉树

• 不存在度大于2的结点（但是可以是1或者0）
• 左子树和右子树是有顺序的
• 二叉树的五种基本形态
• 特殊二叉树
  
  • 斜树
  • 满二叉树
    
    • 定义：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
  • 完全二叉树
    
    • 定义：对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
• 二叉树性质
  
  1. 在二叉树的第i层上至多有2^(n-1)个结点(i>=1)
  2. 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)
  3. 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
  4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为down{(log2 n)}+1
• 二叉树的存储结构
  
  • 顺序存储
  • 链式存储（常用）：二叉链表
• 二叉树的遍历
  
  • 定义：二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次
  • 前序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历
  • 层序遍历
• 线索二叉树
  
  • 增加了线索，指示是左右孩子还是前驱后继
  • 中序遍历

树、森林及二叉树的相互转换

• 树转换成二叉树
  
  • （1）在树中所有的兄弟结点之间加一连线
  • （2）对每个结点，除了保留与其长子的连线外，去掉该结点与其他孩子的连线
• 森林转换成二叉树
  
  • （1）先将森林中的每棵树变为二叉树
  • （2）再将二叉树的根结点视为兄弟从左至右连在一起，就形成了一棵二叉树
• 二叉树到树、森林的转换
  
  • （1）若结点x是其双亲y的左孩子，则把x的右孩子，右孩子的右孩子，……，都与y用连线连起来
  • （2）去掉所有双亲到右孩子之间的连线
• 树与森林的遍历
  
  • 树的遍历：先根遍历、后根遍历
  • 森林的遍历：先根遍历、后根遍历
• 重要性质：
  
  • 树、森林的先根遍历和二叉树的前序遍历结果相同
  • 树、森林的后根遍历和二叉树的中序遍历结果相同

Huffman树

• 基本概念
  
  • 节点的路径长度
    
    • 从根结点到该结点的路径上的连接数
  • 树的路径长度
    
    • 树中每个叶子结点的路径长度之和
  • 结点带权路径长度
    
    • 结点的路径长度与结点权值的乘积
  • 树的带权路径长度（WPL，Weighted Path Length）
    
    • 树中所有叶子结点的带权路径长度之和
• Huffman树：WPL值最小
• 如何构造
  
  • 权值从小到大排序，后面类似编码的过程，小的是左孩子，大的是右孩子

图

定义

是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为G(V,E)。其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

• 无向边：无向偶(Vi,Vj)表示
• 有向边：有向偶

图的存储结构

1. 邻接矩阵
2. 邻接表
3. 十字链表：对有向图来说，有时候需要建立邻接表和逆邻接表2个表。十字链表可以把邻接表和逆邻接表很好整合在一起。
4. 邻接多重表
5. 边集数组

图的遍历

• 深度优先遍历（DFS）
  
  • 递归
  • 骑士周游问题（马踏棋盘算法）
  • 哈密尔顿路径
• 广度优先遍历（BFS）
  
  • 参考http://segmentfault.com/a/1190000002685939
  • 队列

最小生成树

• 普里姆算法（Prim算法）：适合稠密图
• 克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）：适合稀疏图

最短路径

• 迪杰斯特拉算法（Dijkstra算法）:O(n^2)
• 弗洛伊德算法（Floyd算法）:O(n^3)

拓扑排序

• 无环图（DAG图）
• AOV网：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的图，我们称之为AOV网（Activity On Vertex Network）。
• 拓扑序列

关键路径

• AOE网：在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网（Activity on Edge Network）。

查找算法

• 静态查找
  
  • 顺序查找（可以优化，加一个哨兵）：O(n)
  • 折半查找：O(log2n)，下面两种是折半查找的改进：
    
    • 插值查找（按比例查找）：关键在mid的计算上，O(log2n)，适合数据比较均匀的情况
    • 斐波那契查找（黄金比例查找）
  • 线性索引查找
    
    • 稠密索引
    • 分块索引
    • 倒排索引
• 动态查找
  
  • 二叉排序树
    
    • 二叉排序树又称二叉查找树，它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
      
      • 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结构的值；
      • 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结构的值；
      • 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
    • 查找
    • 插入
    • 删除（比较麻烦）
      
      • 删除叶子结点
      • 删掉只有左子树或者右子树的结点
      • 删除有左子树和右子树的结点
  • 平衡二叉排序树
    
    • 平衡二叉树要么是一棵空树，要么它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。
    • 左旋，右旋
  • 多路查找树
    
    • 2-3树
      
      • 2-3树的所有叶子都在同一层次
      • 插入
        
        • 空树：直接构造一个2结点
        • 插入到2结点的叶子结点：直接插入，构造成3结点
        • 插入到3结点的叶子，但是双亲结点是2结点：扩展双亲
        • 一直是3结点：增加树的高度，从下向上拆
      • 删除
        
        • 位于3结点的叶子结点：直接删
        • 位于2结点的叶子结点
          
          • 双亲是2结点，且双亲有一个3结点孩子：左旋转
          • 双亲是2结点，且双亲有一个2结点孩子：找后继，然后旋转
          • 双亲是3结点：双亲变成2结点
          • 所有结点都是2结点：减少树的高度
        • 不是叶子结点
          
          • 位于2结点的双亲
          • 位于3结点的双亲
    • 2-3-4树
      
      • 插入
      • 删除
    • B树
      
      • B树是一种平衡的多路查找树，2-3树和2-3-4树都是B树的特例。我们把结点最大的孩子树数目称为B树的阶，因此，2-3树是3阶B树，2-3-4树是4阶B树。
  • 散列表（哈希表）
    
    • 记录的存储位置=f(关键字)
    • 适合一对一查找
    • 散列函数
      
      • 构造原则：计算简单、分布均匀
      • 直接定址法
      • 数字分析法
      • 平方取中法
      • 折叠法
      • 除留余数法
      • 随机数法
    • 冲突处理
      
      • 开放定址法
      • 再散列函数法
      • 链地址法
      • 公共溢出区法

排序

冒泡排序

O(n^2)

选择排序

O(n^2),移动的次数少了

直接（简单）插入排序

希尔排序

O(nlogn)
直接插入排序在基本有序的情况下，效率是很高的
对直接插入排序的改进

堆排序

O(nlogn)
对选择排序的改进
完全二叉树
大顶堆、小顶堆

归并排序

快速排序