时间复杂度分析：递归算法

递归算法中的时间复杂度有好几种解法，在我看来，最容易掌握的是迭代法和递归树法，这就列出这两种

---

迭代法：

*** 从原始递推方程开始，反复将对于递推方程左边的函数用右边的等式代入，直到得到初值，然后将所得的结果进行化简。

例如在调用归并排序mergeSort(a,0,n-1)对数组a[0…n−1]a[0…n−1]排序时，执行时间T(n)T(n)的递推关系式为：

其中，O(n)为merge()所需要的时间，设为cn（c为正常量）。因此：

类似的，我们也可以用迭代法求解汉诺塔递归求解时的时间复杂度。但遗憾的是，迭代法一般适用于一阶的递推方程。对于二阶及以上（即T(n)依赖它前面更多个递归项T(n)依赖它前面更多个递归项）的递推方程，迭代法将导致迭代后的项太多，从而使得求和公式过于复杂，因此需要将递推方程化简，利用差消法等技巧将高阶递推方程化为一阶递推方程。如在求快速排序算法平均时间复杂度T(n)的递推方程，T(n)依赖T(n−1)、T(n−2)、…、T(1)T(n−1)、T(n−2)、…、T(1)等所有的项，这样的递推方程也称为全部历史递推方程。

---

递归树法：

***递归树是一棵结点带权值的树。初始的递归树只有一个结点，它的权标记为T(n)；然后按照递归树的迭代规则不断进行迭代，每迭代一次递归树就增加一层，直到树中不再含有权值为函数的结点（即叶结点都为T(1)）。

迭代规则：第一步： 把根结点T(n)用根是cn、左结点为T(n/2)、右结点为T(n/2)的子树代替（即：以分解、合并子问题需要的代价为根，分解得到的子问题为叶的子树。其中常量c代表求解规模为1的问题所需的时间）；（如下如(a)→(b)）
第二步：把叶结点按照“第一步”的方式展开；T(n/2)用根是cn/2、左节点为T(n/4)右结点为T(n/4)的子树代替。（如下如(b)→©）
第三步：反复按照“第一步”的方式迭代，每迭代一次递归树就增加一层，直到树中不再含有权值为函数的结点（即叶结点都为T(1)）。（如下如©→(d)）

例如：

画出如下图：

在得到递归树后，将树中每层中的代价求和，得到每层代价，然后将所有层的代价求和，得到所有层次的递归调用的总代价。在上图(d)部分中，完全展开的递归树高度为lgn(树高为根结点到叶结点最长简单路径上边的数目)，所有递归树具有lgn+1，所以总代价为cn∗(lgn+1)，所有时间复杂度为Θ(nlgn)