机器学习 2014斯坦福大学课程: 3 正则化问题

机器学习 2014斯坦福大学课程: 3 正则化问题

刚开始学习机器学习，学习的视频教程是coursera网站上吴恩达（Andrew Ng）教授的机器学习课程。
在此梳理并记录总结笔记，供学习交流，欢迎批评指正！

机器学习 分类 回顾

1. 监督学习（supervised learning )
   1.1 回归问题（regression): 线性回归问题（linear regression）
   1.2 分类问题（classification):逻辑回归问题（logistic regression）
2. 无监督学习(unsupervised learning)
   2.1 聚集问题（clustering)
   2.2. 非聚集问题（non-clustering）

正则化（Regularization）

正则化用于优化线性回归和逻辑回归问题，解决过拟合问题。

过拟合(overfitting)问题
从左至右分别为：欠拟合（underfitting），拟合，过拟合


过拟合：当特征太多时，将样本集拟合的特别好，但是预测时难以一般化。
解决方法：
减少特征数，手动筛选保留一些特征
保留特征数，引入正则化，将参数的权重降低

成本函数正则化

1. 线性回归
   特征：$x_1,x_2,x_3,x_4...x_n$
   参数：${\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2...{\theta }_n$
   引入：$\lambda$
   $$J({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2...{\theta }_n)=\frac{1}{2m}[\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+\lambda \sum _{j=1}^n{\theta }_j^2]$$
   梯度下降算法为：
   $$repeat\{$$$${\theta }_0={\theta }_0-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})\ast x_0^{(i)}$$$${\theta }_j={\theta }_j-\alpha [\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})\ast x_j^{(i)}+\frac{\lambda }{m}{\theta }_j]$$$$j=1,2,3,...n$$$$\}$$

   $j=1...n$ 注意${\theta }_0$不引入参数
   若$\lambda =1000$
   $J({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_n)=\frac{1}{2m}{\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+$$1000{\theta }_1^2+1000{\theta }_2^2...$
   当$minJ->0$ 1000 越大 $\theta 越小$ $\theta$趋近于0
   但是当$\lambda$太大，所有参数$\theta$都趋近0
   那么将会变为一条$y={\theta }_0$直线，出现欠拟合情况。

2. 逻辑回归
   成本函数：
   $$J({\theta }_0,{\theta }_1)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(-y^{(i)}\ast log(h_{\theta }(x^{(i)}))+(1-y^{(i))}log(1-h_{\theta }(x^{(i)})))+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$
   $$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(-y.\ast log(h(\theta ))+(1-y).\ast log(1-h(\theta )))$$

   梯度下降算法为：
   $$repeat\{$$$${\theta }_0={\theta }_0-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})\ast x_0^{(i)}$$$${\theta }_j={\theta }_j-\alpha [\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})\ast x_j^{(i)}+\frac{\lambda }{m}{\theta }_j]$$$$j=1,2,3,...n$$$$\}$$

3. 正则方程
   $\theta =(X^{T}X+\lambda \left[\begin{array}{ccccc}0& & & & \\ & 1& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 1& \\ & & & & 1\end{array}\right]{)}^{-1}{X}^{T}y$
   证明过程略

程序实现

python代码实现
线性回归成本函数和梯度下降函数

import numpy as np
def computeCost(X,y,theta,l):#成本函数
   theta1=npconcatenate([np.array([0],theta[1:]))#将theta0换成0,不参与正则化
   m=X.shape[0]
   inner=X@theta-y #X@theta=X.dot(theta)
   return inner.T@inner/(2*m)+l/(2*m)*(theta1.T@theta1)
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,interation):#梯度下降
  theta1=npconcatenate([np.array([0],theta[1:]))#将theta0换成0
   m=X.shape()
   J=[]
   for _ in range(interation):
       theta=theta-alpha/m*X.T@(X@theta-y)-alpha*l/m*theta1
       J.append(computeCost(X,y,theta))
   return theta,J

逻辑回归成本函数和偏导数函数

import numpy as np
def sigmoid(z):
    return 1/(1+np.exp(-z))
def computeCost(X,y,theta,l):#成本函数
    theta1=npconcatenate([np.array([0],theta[1:]))#将theta0换成0
    m=X.shape[0]
    h=sigmoid(X@theta)
    J=np.mean(-y*log(h)+(1-y)*log(h))+l/(2*m)*(theta1.T@theta1)
    return J
def gradient(X,y,theta,l):#导数
    theta1=npconcatenate([np.array([0],theta[1:]))
    m=X.shape[0]
    h=sigmoid(X@theta)
    grad=1/m*(X.T@(h-y))+l/m*theta1
    return grad

总结

增加了$\lambda$一项，注意${\theta }_0$不考虑，从${\theta }_1$开始

参考

[1] 来自本课程课件和作业题，以及黄海广github上的中文笔记资料等