关系规范化之求最小函数依赖集（最小覆盖）

最小函数依赖集
一、等价和覆盖
　　定义：关系模式R上的两个依赖集F和G，如果F+=G+，则称F和G是等价的，记做F≡G。若F≡G，则称G是F的一个覆盖，反之亦然。两个等价的函数依赖集在表达能力上是完全相同的。
　　
二、最小函数依赖集
　　定义：如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为最小函数依赖集或最小覆盖。
　　① F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；
　　② F中不存在这样一个函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价；
　　③ F中不存在这样一个函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。
　　算法：计算最小函数依赖集。
　　输入 一个函数依赖集
　　输出 F的一个等价的最小函数依赖集G
　　步骤：① 用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；
　　　　　② 去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；
　　　　　③去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？若A 
(X)+，则Y是多余属性，可以去掉。
　　举例：已知关系模式R，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求F的最小函数依赖集。
　　
解1：利用算法求解，使得其满足三个条件
　　
① 利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖，得F为：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
　　 
② 去掉F中多余的函数依赖
　　
A．设AB→C为冗余的函数依赖，则去掉AB→C，得：F1={D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
　　计算(AB)F1+：设X(0)=AB
　　计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为AB或AB子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。故有X(1)=X(0)=AB，算法终止。
　　(AB)F1+= AB不包含C，故AB→C不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。
　　
B．设CG→B为冗余的函数依赖，则去掉CG→B，得：F2={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
　　计算(CG)F2+：设X(0)=CG
　　计算X(1)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。
　　计算X(2)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。故有X(2)=X(1)∪D=ACDG。
　　计算X(3)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACDG或ACDG子集的函数依赖，得到两个ACD→B和D→E函数依赖。故有X(3)=X(2)∪BE=ABCDEG，因为X(3)=U，算法终止。
　　(CG)F2+=ABCDEG包含B，故CG→B是冗余的函数依赖，从F2中去掉。
　　
C．设CG→D为冗余的函数依赖，则去掉CG→D，得：F3={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
　　计算(CG)F3+：设X(0)=CG
　　计算X(1)：扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。
　　计算X(2)：扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。故有X(2)=X(1)，算法终止。(CG)F3+=ACG。
　　(CG)F3+=ACG不包含D，故CG→D不是冗余的函数依赖，不能从F3中去掉。
　　
D．设CE→A为冗余的函数依赖，则去掉CE→A，得：F4={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→G}
　　计算(CG)F4+：设X(0)=CE
　　计算X(1)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为CE或CE子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CEA=ACE。
　　计算X(2)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖，得到一个CE→G函数依赖。故有X(2)=X(1)∪G=ACEG。
　　计算X(3)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACEG或ACEG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。故有X(3)=X(2)∪D=ACDEG。
　　计算X(4)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACDEG或ACDEG子集的函数依赖，得到一个ACD→B函数依赖。故有X(4)=X(3)∪B=ABCDEG。因为X(4)=U，算法终止。
　　(CE)F4+=ABCDEG包含A，故CE→A是冗余的函数依赖，从F4中去掉。
　　
③ 去掉F4中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖）由于C→A，函数依赖ACD→B中的属性A是多余的，去掉A得CD→B。
　　故最小函数依赖集为：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,CD→B,CE→G}
 
　　
解2：利用Armstrong公理系统的推理规则求解
　　① 假设CG→B为冗余的函数依赖，那么，从F中去掉它后能根据Armstrong公理系统的推理规则导出。
　　因为CG→D （已知）
　　所以CGA→AD，CGA→ACD （增广律）
　　因为ACD→B （已知）
　　所以CGA→B （传递律）
　　因为C→A （已知）
　　所以CG→B （伪传递律）
　　故CG→B是冗余的。
　　② 同理可证：CE→A是多余的。
　　③ 又因C→A，可知函数依赖ACD→B中的属性A是多余的，去掉A得CD→B。

　　故最小函数依赖集为：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,CD→B,CE→G}

//求最小覆盖Fm 
//输入：属性全集U，U上的函数依赖集F
//输出：函数依赖集F的最小覆盖Fm 

#include 
#include 
using namespace std;

struct FunctionDependence//函数依赖 
{
	string X;//决定因素 
	string Y;	
};

void Init (FunctionDependence FD[],int n)
{
	//函数依赖关系初始化
	int i;
	string x,y;
	cout<<"请输入F中的函数依赖（决定因素在左，被决定因素在右）"<>x>>y;
		FD[i].X=x;
		FD[i].Y=y;	
	} 
	cout<<"函数依赖集合"; 
	cout<<"F={" ;
	for (i=0;i"<=1)
		ss+=(char)ii;
	} 
	return ss;
} 


bool IsIn(string f,string zz)//能够判断F中决定因素f里所有的因素是否在X中，但这样可能导致结果出现重复 
{
	bool flag1=false;
	int len1=f.length();
	int len2=zz.length();
	int k=0,t=0,count1=0;
	for (k=0;kright
void  Cut(FunctionDependence FD[],int n,string left,string right,FunctionDependence Dyna[])
{	
	int i=0,j=0,count=0;
	for (i=0;i"<"<"<"<"<"<A,X=B1B2..Bm,A属于{X去掉某个其中的属性Bi的闭包} 
			{
				Dyna3[i].X= temp_x;

			}
		}
			/*if(RA(Dyna3[i],Dyna3[j])==true)
			{
				break;
			}*/
				Dyna4[count2].X=Dyna3[i].X;
				Dyna4[count2].Y=Dyna3[i].Y;
				count2++;	
			
	}

	//求得最小覆盖 
	cout<"<"<>N;
	
	FunctionDependence fd[N];
	Fmin(fd,N);

	return 0;
} 

谁能告诉我，怎么突然不能上传图片了？