一, 废话..
起因是这样的。最近刚写完专利，脑壳巨大无比，所以想写点文章陶冶下情操。但是我这个大老粗爷们也写不来言情小说，搞得我很是痛苦。我唯一会的也就只有 matlab了，， 所以写一篇文章自我陶醉一下，哈哈哈。。
最近也是天气晴朗，雾霾飘香。最痛苦的是下周OFDM的通信系统测试。想必同学们也是脑壳比我还大，也有很多同学问我这个 OFDM咋个做哦。我也简单的说下在高斯信道下的 OFDM系统，其实也讲了讲瑞利，莱斯信道下的 OFDM。 但是不要求嘛 ，确实那个有点难。
二. OFDM与傅里叶暧昧关系
一. 物理层的小知识
他们我们通信就是装点宽带啊，电线啊，但是不然。我们要自奋强大，还是要懂点小常识
信源编码：着重对信号容量压缩，提高传输效率
信道编码：针对多变的信道插入冗余信息，增加传输稳定性（设计的OFDM插入的CP（循环前缀），引频信号就是冗余信息）。
信号调制：将比特流转换成稳定的波形进行传输
二.信号的正交性
比如： sint 和 sin2t 为一对正交信号，因为 sint*sin2t 在区间[0,2 pi]上的积分为0.
sint和 sin2t是用来承载信号的，我们称为子载波
加入 sint 信号传送信号a ,采用AM调制，它变为 asint
加入 sin2t信号传送信号b，采用AM调制，它变为 bsin2t
那么我们的和信号就变成 xn = asint+ bsin2t
接收a信号时候：将xn * sint 再通过[0,2pi]积分，sin2t的分量信号就变为了0,只剩下带有a的信号
接收b信号时候：将xn * sin2t 再通过[0,2pi]积分，sint的分量信号就变为了0,只剩下带有b的信号
%还不晓得的话，动一动笔写一下就明白了。
扩展一下
我们将sint离散化 就变成了 sin(2*pi*Δf*K*T) 其中K = 1，2，3.....
Δf为子载波间间隔.
我们的f(t) 则可以变成
f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +
a2·sin(2π·Δf·2t) +
a3·sin(2π·Δf·3t) .....
再扩展一下
因为sint 和 cost 是正交的。 对吧
f(t) = b1·cos(2π·Δf·t) +
b2·cos(2π·Δf·2t) +
b3·cos(2π·Δf·3t) .....
那么f(t)就可以找到合适的系数ak,和bk,将
f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +
a2·sin(2π·Δf·2t) +
a3·sin(2π·Δf·3t) +
...
ak·sin(2π·Δf·kt) +
b1·cos(2π·Δf·t) +
b2·cos(2π·Δf·2t) +
b3·cos(2π·Δf·3t) +
...
bk·cos(2π·Δf·kt)
综上f(t)=∑ak·sin(2π·Δf·kt) + ∑bk·cos(2π·Δf·kt)
对f(t)进行复数化 ：f(t) =∑Fk·e(j·2π·Δf·kt)
这个啥子！！！！这是这就是傅里叶级数，是不是很magical.
简单的小实验
设计一段晓得bit流,使其分别进行ifft后 与 f(t) =∑Fk·e(j·2π·Δf·kt)公式 两种方法进行对比
现在假定待发送序列00011011,OFDM符号时长为1s，调制方式为QPSK
输入信号 IQ信号 输出信号相位
%00 1/2,1/2 pi/4
%01 -1/2,1/2 3pi/4
%10 -1/2,-1/2 5pi/4
%11 1/2,-1/2 7pi/4
根据QPSK的映射关系，求出输入函数:
d1 = 1/2+1i*1/2;
d2 = -1/2+1i*1/2;
d3 = 1/2+1i*(-1/2);
d4 = -1/2 + 1i*(-1/2);
对输入序列进行IFFT
xk = [0,d1,d2,d3,d4,0,0,0]; %输入序列xk
sn = ifft(xk); %IFFT后输出的sn序列
即可得到输入序列后的IFFT曲线
%////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
采用公式法：f(t) =∑Fk·e(j·2π·Δf·kt)
我们QPSK调制，则一个OFDM符号里有2个bit
(一个OFDM符号与调制方式对应的bit数目:(QPSK:2),(16QAM:4),(64QAM:6) )
根据公式求出子载波
%子载波
e1 = exp(1i*2*pi*f*t);
e2 = exp(1i*2*pi*f*t*2);
e3 = exp(1i*2*pi*f*t*3);
e4 = exp(1i*2*pi*f*t*4);
OFDM基带复信号表达式
st = d1*e1 + d2*e2 + d3*e3 + d4*e4; %将上述公式展开
画出st的图像
我们将上述的st与sn图像进行对比
（上图形为实部，下图形为虚部）
可以惊讶的发现：IFFT后的图形就是公式图形的离散值！所以OFDM系统和傅里叶级数有种亲密而不可分离的感情，如同牛郎和织女，杨贵妃和唐玄宗，葫芦娃和爷爷。。。。。 好像有点奇怪
所以IFFT模块的功能相当于说：别麻烦发送N个子载波信号了，我直接算出你们在空中会叠加成啥样子吧；FFT模块的功能相当于说：别用老式的积分方法来去除其余的正交子载波了，我帮你一次把N个携带信号全算出来吧
（图片来自小白）
三.OFDM系统设计
终于要进行设计了，前面一大堆，我打字都打累了。原来写文章那么辛苦，我觉得司马迁好牛比。。
我们先从最简单的高斯信道说起走嘛。
前面说了傅里叶变化在OFDM系统中的举足轻重的作用，所以我们OFDM系统的仿真才使用IFFT和FFT算法
高斯信道
高斯信号就是在信号通过此信道中加入高斯白噪声。
在maltab通信系统仿真中我们用awgn(TrData1,SNR,'measured'); 函数来给信号TrData1添加高斯白噪声
瑞利信道
信号通过无线信道之后，其信号幅度是随机的，即“衰落”，并且其包络服从瑞利分布.
接受信号具有四种效应：1.阴影 2.远近 3.多径 4.多普勒频移
莱斯信道
简单的说莱斯信道比瑞利信道多了一条直流分量。
CP
就是我们所谓的循环前缀，为什么要加入CP循环前缀这个冗余信息呢。为了抵抗由于多径效应带来的ICI（载波间干扰），设计的时候也要注意下：一个CP占用了每个OFDM符号约的1/15的资源
引频信号的意义
插入引频信号通过训练序列的信息，实时估计信道，从而再做信号的矫正，从而再解调的时候减少误码率之类。
高斯信道下的OFDM通信系统matlab仿真
发送端：
第一步：产生随机数列 Signal=rand(1,para*Ns*2)>0.5
其中我们所设置的 para为并行传输的子载波个数
Ns为一个祯结构中OFDM信号的个数
第二步：进行串并转化
串并转化为十分重要的函数reshape函数
其用法为：SigPara = reshape(Signal,para,Ns*2); 将原始信号Signal 信号转化为para 行 Ns*2列的信号
reshape（a,m,n）;先把矩阵a按列拆分，然后拼接成一个大小为m*n的向量。
第三步：进行QPSK调制
(1)将数据分为两个通道 即i通道和q通道
函数如下:
for j=1:Ns
ich(:,j)=SigPara(:,2*j-1);
qch(:,j)=SigPara(:,2*j);
end
(2)根据QPSK映射关系，求出输入后的数据
kmod=1./sqrt(2);
ich1=ich.*kmod;
qch1=qch.*kmod; %QPSK映射关系
第四步：插入保护间隔
ich3=[ich2(fl-gl+1:fl,:);ich2];
qch3=[qch2(fl-gl+1:fl,:);qch2];
我们选取gl = 32:将信号的最后32组数据进行复制，加入到原始信号中 -- 加强容错性
第五步：并串变换
ich4=reshape(ich3,1,(fl+gl)*Ns);
qch4=reshape(qch3,1,(fl+gl)*Ns);
形成复发射数据：TrData1=ich4+qch4.*sqrt(-1);
第六步：发射数据加入高斯白噪声
ReData=awgn(TrData1,SNR,'measured');
%///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
接受端：
第一步：移去保护间隔
(1)进行数据的复式化
idata=real(ReData); %加入噪声后的实部
qdata=imag(ReData); %加入噪声后的虚部
(2)对数据进行串并转化
idata1 = reshape(idata,fl+gl,Ns);
qdata1 = reshape(qdata,fl+gl,Ns);
(3)移去保护间隔
idata2=idata1(gl+1:gl+fl,:);
qdata2=qdata1(gl+1:gl+fl,:);
取idata1的每一列的gl+1 到gl+fl的数据形成iadta2
第二步:FFT
第三步:QPSK解调:
（1）将fft转化后的数据/komd
(2)并串转化
(3)重组信号
第四步:抽样判决
ReSig = Res > 0.5; 将上述重组后的信号进行分析，大于0.5的信号赋值为1，小于0.5的赋值为0
第五步：计算错误的概率
err = 0;
for i = 1:para*Ns*2;
if (Signal(i)~=ReSig(i))
err = err + 1; %得到误码的个数
end
end
Pe = err / (para*Ns*2);
取多组SNR值，加入高斯信道我们可以得到snr-Pe曲线
%///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
引深：如果信道为瑞利信道在有多径效应和多普勒频移的情况下
信道的信能将会受到严重的影响
图为加入瑞利信道后的OFDM（没有做信道估计）
可见当加入了多径和多普勒频移后的信道 误码率从3%上升到了30%左右，瑞利信道完全破坏了信号的传输
引频信号的引入
我们在加入列引频和行引频
A=[A;r]插行 A=[A c]插列
列间加入引频：
ich2= [zeros(fl,1) ich21(:,[1:Ns/2]) zeros(fl,1) ich21(:,[Ns/2+1:Ns]) zeros(fl,1)] ;
行间加入引频:
ich2 = [zeros(1,(Ns+3)) ; ich2(1:fl/2,:) ; zeros(1,(Ns+3)) ; ich2((fl/2)+1:fl,:) ; zeros(1,(Ns+3))];
加入的结果：
加入引频信号后可以通过LS算法来 做信道估计
LS算法基本原理：Y = HX + N 其中N为噪声信号，H为信道的频率响应，Y,X为输出，输入信号的响应
在理想信道下： H' = Y/X 输入除以输出（其中Y为通过瑞利信道后的信号） ,可以得到频率响应H的估计H'
我们用所得到的H'再反过来推算出X的估计:X' = Y/H' 得到新的输入。对X’再进行去引频的后续处理
for j = 1:(Ns+3)
for i = 1:(para+3)
Hls(i,j) = idata21(i,j)./ich2(i,j);
ixg(i,j) = idata21(i,j) ./ Hls(i,j);
hls(i,j) = qdata21(i,j)./qch2(i,j);
qxg(i,j) = qdata21(i,j)./ hls(i,j);
end
end
加入信道估计后误码率的图示：
结论
OFDM系统中 ：OFDM系统在只有高斯白噪声的情况下影响较小，OFDM设计在高斯信道下的优势很小
但是在瑞利信道中，OFDM引频信号，CP，信道估计对传输的信号起到了保护的作用。使其在收到多径，多普勒频移的条件下，能够有效的恢复出原信号。
在没有信道估计得OFDM--瑞利系统，多径，远近，阴影，多普勒频偏对信号造成了严重的干扰。使其不能够正常传输，有着严重的误码率。
。。。。。。。打字都打累了，可能里面会有些错误，请各位指正。