EDEN的新背包问题 牛客（背包dp，多重背包变形）——BZOJ3163

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20007
来源：牛客网

题目描述

“ 寄 没 有 地 址 的 信 ，这 样 的 情 绪 有 种 距 离 ，你 放 着 谁 的 歌 曲 ，是 怎 样 的 心 情 。 能 不 能 说 给 我 听 。”

失忆的 Eden 总想努力地回忆起过去，然而总是只能清晰地记得那种思念的 感觉，却不能回忆起她的音容笑貌。

记忆中，她总是喜欢给 Eden 出谜题：在 valentine’s day 的夜晚，两人在闹市 中闲逛时，望着礼品店里精巧玲珑的各式玩偶，她突发奇想，问了 Eden 这样的 一个问题：有 n 个玩偶，每个玩偶有对应的价值、价钱，每个玩偶都可以被买有 限次，在携带的价钱 m 固定的情况下，如何选择买哪些玩偶以及每个玩偶买多 少个，才能使得选择的玩偶总价钱不超过 m，且价值和最大。

众所周知的，这是一个很经典的多重背包问题，Eden 很快解决了，不过她似 乎因为自己的问题被飞快解决感到了一丝不高兴，于是她希望把问题加难：多次 询问，每次询问都将给出新的总价钱，并且会去掉某个玩偶（即这个玩偶不能被 选择），再问此时的多重背包的答案（即前一段所叙述的问题）。

这下 Eden 犯难了，不过 Eden 不希望自己被难住，你能帮帮他么？

输入描述:

第一行一个数n，表示有n个玩偶，玩偶从0开始编号
第二行开始后面的 n行，每行三个数 ai, bi, ci，分别表示买一个第i个玩偶需要的价钱，获得的价值以及第i个玩偶的限购次数。
接下来的一行为q，表示询问次数。
接下来q行，每行两个数di. ei表示每个询问去掉的是哪个玩偶（注意玩偶从0开始编号）以及该询问对应的新的总价钱数。（去掉操作不保留，即不同询问互相独立）

输出描述:

输出q行，第i行输出对于第 i个询问的答案。

输入

5 
2  3 4
1  2 1
4  1 2
2  1 1
3  2 3
5 
1  10 
2  7
3  4
4  8
0  5

输出

13
11
6
12
4

备注:

10%数据满足 1 ≤ n ≤ 10；

另 20%数据满足 1 ≤ n ≤ 100, ci = 1, 1 ≤ q ≤ 100；

另 20%数据满足 1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ q ≤ 100；

另 30%数据满足 ci = 1；

100%数据满足 1 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ q ≤ 3*105, 1 ≤ ai、bi、ci ≤ 100, 0 ≤ di < n, 0 ≤ ei ≤ 1000。\

理解

q的数据量极大，我们不能每次询问的时候都跑一次多重背包。

我们可以想一下每个物品都有的他对总价值的贡献，在最基本的多重背包的递推式中，dp[i][j]表示前i件物品装入容量为j的背包中的最大价值。
那么当我们用dp1[i][j]表示后i件物品装入容量为j的背包中的最大价值，那么我们可以用dp[i-1][j]和dp1[i+1][j]来分别表示第i件之前和之后的所有的物品装入背包容量为j的背包中的最大价值。

那么到这里这个问题就很好解决了，我们用两个二维数组分别记录下，前i件和后i件物品放入不同容量背包中的最大价值，最后在每次询问的时候进行以下操作即可（文字我不会讲，上代码就明白了）：

for(int i = 0;i<=e;i++){//e是每个询问的背包容量，d是去除的那一个物品
	ans = max( ans , dp1[d-1][i] + dp2[d+1][e-i] );
}

代码

#include 
using namespace std;
const int maxn = 1010;

int dp[maxn],v[maxn],w[maxn],num[maxn];
int dp1[maxn][maxn],dp2[maxn][maxn];
int n;
int bag = 1005;

void ZeroOnePack(int w,int v){
	for(int j = bag;j>=w;j--){
		dp[j] = max(dp[j],dp[j-w]+v);
	}
}

void MultiplePack(int w,int v,int number){
	int k = 1;
	while(k<=number){
		ZeroOnePack(w*k,v*k);
		number-=k;
		k<<=1;
	}
	ZeroOnePack(number*w,number*v);
}

void solve(){
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		MultiplePack(w[i],v[i],num[i]);
		for(int j = 0;j<=bag;j++){
			dp1[i][j] = dp[j];
		}
	}
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i = n;i>=1;i--){
		MultiplePack(w[i],v[i],num[i]);
		for(int j = 0;j<=bag;j++){
			dp2[i][j] = dp[j];
		}
	}
}

int main(){
	cin>>n;
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&num[i]);
	}
	solve();
	int q;cin>>q;
	while(q--){
		int d,e;
		scanf("%d%d",&d,&e);
		d++;
		int ans = 0;
		for(int i = 0;i<=e;i++){
			ans = max(ans,dp1[d-1][i]+dp2[d+1][e-i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	
	return 0;
}