编译原理 | 关于四种文法的理解学习及如何根据语言描述给出正则式or相应文法
目录
写在前面
文法概要
0型文法（对应图灵机）
1型文法（对应线性界线自动机，自然语言）
2型文法（对应下推自动机，程序设计语言）
3型文法（对应有限自动机）
四类文法的关系与区别
关于正规表达式与上下文无关文法
正规表达式
文法
写在前面
首先要说明的是：一般的文法至少都是0型文法，也就是说0型文法限制最少。若将0型文法比作基类的话，1、2、3型文法就是不断继承并加以限制得到的子类。
文法表示过程中，常用大写字母表示非终结符VN，而小写字母表示的是终结符VT。
文法概要
设文法 G[S]=（VN，VT，S，P）
0型文法（对应图灵机）
- 如果它的每个产生式α→β是这样一种结构：α∈(VN∪VT)*且至少含有一个非终结符，而β∈(VN∪VT)*，则G[S]是一个0型文法。
- 0型文法也称短语文法，记为PSG。
- 一个非常重要的理论结果是：0型文法的能力相当于图灵机。或者说，任何0型文语言都是递归可枚举的，反之，递归可枚举集必定是一个0型语言。
1型文法（对应线性界线自动机，自然语言）
- 它是在0型文法的基础上每一个α→β,都有|β|>=|α|。这里的|β|表示的是β的长度。
- 注意：虽然要求|β|>=|α|，但有一特例：α→ε也满足1型文法。
- 1型文法也叫上下文有关文法，记为CSG。
- 此文法对应于线性有界自动机。
2型文法（对应下推自动机，程序设计语言）
- 2型文法是在1型文法的基础上,再满足：每一个α→β都有α是非终结符。
- 2型文法也叫上下文无关文法，记为CFG。
- 此文法对应于下推自动机。
3型文法（对应有限自动机）
- 它是在2型文法的基础上满足:A→α|αB（右线性）或A→α|Bα（左线性）。
- 3型文法也叫正规文法，记为RG。
- 此文法对应于有限状态自动机。
四类文法的关系与区别
1~3型文法都属于0型文法，2、3型文法不一定属于1型文法(如果存在A→ε的产生式，则不属于1型文法)，3型文法属于2型文法。四类文法区别如下：
（1）1型文法中不允许有形如A→ε的产生式存在，而2、3型文法则允许出现。
（2）0、1型文法产生式左部存在含有终结符的符号串或两个以上的非终结符，而2、3型文法的产生式左部只允许是单个非终结符号。
例如：判断该产生式 S-> aSb|ab 对应的文法。
关于正规表达式与上下文无关文法
正规表达式所描述的语言结构均可以用上下文无关文法描述，反之则不一定。
正规表达式
1. S={0,1}，没有连续两个1的0和1组成的串集合 。
(10|0)*(1|e)
2. S＝{a,b,c} ，包含至少一个a和一个b的串集合。
c*a(a|c)*b(a|b|c)* | c*b(b|c)*a(a|b|c)*
3. S={0,1},使每对相邻的0都出现在任何一对相邻的1之前的所有01串集合。
(10|0)*|(1|e)(01|1)* |(0|e)
[分析] 这题换个说法来理解就是 “如果出现任意一对相邻的1，那么它后面必然不会出现相邻的0” 。首先，我们将这个01串拆成前后两个部分来考虑，首先给出没有连续两个1的01串的前缀，则这样表示(10|0)*|(1|e)，这时需要考虑后面尾部的情况有两种：
- 一种是没有一对相邻的1，那么之前表示足以。
- 另一种是存在若干对相邻的1，那么则用(01|1)* |(0|e) 来表示。
4. S={0,1} ，不包含101作为子串的集合。
0*|0*11*|0*11*0|(0*11*00)*(0*11*|0*11*0|e)
文法
按指定类型，给出语言的文法。
1. L={anbn | n≥1}的上下文无关文法
G[S]: S→aT
T→Sb|b
2. L={aibj | j＞i≥0}的上下文无关文法
G[S]: S→aSb|Sb|b
3.由相同个数a和b组成句子的无二义文法
官方标配答案：
我们用一个非终结符A代表一个a(即有A→a)，用一个非终结符B代表一个b(即有B→b)；为了保证a和b的个数相同，则在出现一个a时应相应地出现一个B，出现一个b时则相应出现一个A。假定已推导出bA，如果下一步要推导出连续两个b时，则应有bAbbAA。也即为了保证b和A的个数一致，应有A→bAA；同理有B→aBB。此外，为了保证递归地推出所要求的ab串，应有S→aBS和S→bAS。由此得到无二义文法G[S]为
G[S]: S→aBS|bAS|ε
A→bAA|a
B→aBB|b
自己来看的理解与解题过程：
我们规定S 能推导出所有具有相等个数a和b的符号串
S→ε（最简单的情况，a、b都没有）
S→a B （其中B 中b的个数比a多一个）
S→b A （其中A中a的个数比b多一个）
这里可以看出，引入两个非终极符B和A来分别推出相应的后缀。得到S的产生式：
S→aB | bA | e
接下来，对B采用同样的方法来考虑:
B → b （最简单的情况，a没有）
B →b S
B → a BB
于是可得到B的产生式:
B→bS | aBB | b
同样地，可得到A的产生式:
A→ aS | bAA | a
将三部分放在一起，我们就得到了文法G[S], 如下：
S→aB | bA |e
B→bS | aBB | b
A→aS | bAA | a
[拓展思考]如果将A或B作为开始符号，得到的语言是什么？
4. 字母表Σ={a,b}上的同时只有奇数个a和奇数个b的所有串的集合的正规文法。
为了构造字母表Σ={a,b}上同时只有奇数个a和奇数个b的所有串集合的正规式，我们画出如图所示的DFA，即由开始符S出发，经过奇数个a到达状态A，或经过奇数个b到达状态B；而由状态A出发，经过奇数个b到达状态C(终态)；同样，由状态B出发经过奇数个a到达终态C。由图可直接得到正规文法G[S]如下：
G[S]: S→aA|bB
A→aS|bC|b
B→bS|aC|a
C→bA|aB|ε
拓展思考：奇数个a和偶数个b、偶数个a和偶数个b、偶数个a和奇数个b又怎么表示呢？
更多文法构造例子：http://download.csdn.net/download/jave_f/10016955
【附：一文一图】
