Character Encoding((1+x+x^2+...+x^k)^m中x^n的系数)

原题 : hdu 6397

题意 :

k个球装入m个不同的盒子,每个盒子可装的球的数量为0~n-1,求方案数

解析:

有母函数现有公式 :

(1+x+x2+...+xk)m⇒∑n=1k∗man∗xn ( 1 + x + x 2 + . . . + x k ) m ⇒ ∑ n = 1 k ∗ m a n ∗ x n

∀an=∑i=0[nk+1](−1)i∗Cim∗Cn−(k+1)∗in+m−(k+1)∗i+1 ∀ a n = ∑ i = 0 [ n k + 1 ] ( − 1 ) i ∗ C m i ∗ C n + m − ( k + 1 ) ∗ i + 1 n − ( k + 1 ) ∗ i

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讲一下容斥的做法 :

在不考虑数量上限的时候,方案数为 Cm−1m+k−1, C m + k − 1 m − 1 , 此时包括了不合法的情况,即有盒子的球数大于等于n

为什么是 Cm−1m+k−1? C m + k − 1 m − 1 ? 我们有k个数,m个盒子,相当于在k个数中插入m-1个板子,就变成了m+k-1的排列数 Am+k−1m+k−1 A m + k − 1 m + k − 1 ,除去板子的顺序 Am−1m−1 A m − 1 m − 1 和数的顺序 Akk, A k k , 就得到了 Cm−1m+k−1 C m + k − 1 m − 1

考虑大于等于n的情况: 设至少有i个盒子不合法(包括i以上个盒子)的方案数为 S(i) S ( i ) ,显然 S(i) S ( i ) 包括了 S(i+1),S(i+2)... S ( i + 1 ) , S ( i + 2 ) . . . 的情况 那么最终答案为 Cm−1m+k−1−S(1)+S(2)−... C m + k − 1 m − 1 − S ( 1 ) + S ( 2 ) − . . . 至于求 S(i) S ( i ) ,我们可以换个思路想,对任意i个盒子,我们在分球之前就放入n个球使之不合法,然后再把剩下的 k−i∗n k − i ∗ n 个球随机放,方案数为 Cim∗Cm−1m−i∗n+k−1 C m i ∗ C m − i ∗ n + k − 1 m − 1 ,你会发现最后放好的结果可能不止i个盒子不合法,即包括了i+1,i+2的情况,就是上面答案中的情况即容斥原理的公式

代码:

#include
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#include
#include
using namespace std;
#define D long long
#define F double
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
D read(){ D ans=0; char last=' ',ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
const int N=200000;
const F pi=acos(-1);
const D mod=998244353;
const F _e=2.718281828459045;

/*快速幂*/
D swift(D a,D b){
    D ans=1ll;
    while(b){
        if(b%2)ans=ans*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }return ans;
}

D inv(D a){return swift(a,mod-2);}//费马小定理


/*预处理阶乘*/
D fac[N+9];
D inv_fac[N+9];
void init_fac(){
    fac[0]=fac[1]=1ll;
    for(int i=2;i<=N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    //预处理阶乘逆元
    inv_fac[N]=swift(fac[N],mod-2);//费马小定理求 N！的逆元
    for(D i=N-1;i>=1;i--) inv_fac[i]=(inv_fac[i+1]*(i+1))%mod;
    inv_fac[0]=1;
}



D A(D a,D b){//排列数 a下
    if(b>a||b<0)return 0;
    return fac[a]*inv_fac[a-b]%mod;
}
D C(D a,D b){//组合数 a下
    if(b>a||b<0)return 0;
    return fac[a]*inv_fac[a-b]%mod*inv_fac[b]%mod;
}


int main(){
    init_fac();
    int t=read();
    while(t--){
        D n=read(),m=read(),k=read();
        if(m*(n-1)printf("0\n");continue;}
        D ans=C(m+k-1,m-1);
        for(int i=1;i*n<=k;i++){
            D f=1;
            if(i%2)f=-f;
            ans=(ans+f*C(m,i)*C(m-i*n+k-1,m-1)%mod+mod)%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}