Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA、ASP、Floyd-Warshall 算法分析

图论中，用来求最短路的方法有很多，适用范围和时间复杂度也各不相同。

本文主要介绍的算法的代码主要来源如下：

1. Dijkstra: Algorithms（《算法概论》）Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani;《算法竞赛入门经典—训练指南》刘汝佳、陈峰。
2. SPFA (Shortest Path Faster Algorithm): Data Structure and Algorithms Analysis in C, 2nd ed.（《数据结构与算法分析》）Mark Allen Weiss.
3. Bellman-Ford: Algorithms（《算法概论》）Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani.
4. ASP (Acyclic Shortest Paths): Introduction to Algorithms - A Creative Approach（《算法引论—一种创造性方法》）Udi Manber.
5. Floyd-Warshall: Data Structure and Algorithms Analysis in C, 2nd ed.（《数据结构与算法分析》）Mark Allen Weiss.

它们的使用限制和运行时间如下：

Dijkstra: 不含负权。运行时间依赖于优先队列的实现，如 O((∣V∣+∣E∣)log∣V∣)
SPFA: 无限制。运行时间O(k⋅∣E∣) (k≪∣V∣)
Bellman-Ford：无限制。运行时间O(∣V∣⋅∣E∣)
ASP: 无圈。运行时间O(∣V∣+∣E∣)
Floyd-Warshall: 无限制。运行时间O(∣V∣^3)

其中 1~4 均为单源最短路径 (Single Source Shortest Paths) 算法；5 为全源最短路径 (All Pairs Shortest Paths) 算法。顺便说一句，为什么没有点对点的最短路径？如果我们只需要一个起点和一个终点，不是比计算一个起点任意终点更节省时间么？答案还真不是，目前还没有发现比算从源点到所有点更快的算法。

 

分析完时间复杂度之后，再来看平时比赛或者其他使用上的具体情况：

Dijkstra：适用于权值为非负的图的单源最短路径，用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV)

BellmanFord：适用于权值有负值的图的单源最短路径，并且能够检测负圈，复杂度O(VE)

SPFA：适用于权值有负值，且没有负圈的图的单源最短路径，论文中的复杂度O(kE)，k为每个节点进入Queue的次数，且k一般<=2，但此处的复杂度证明是有问题的，其实SPFA的最坏情况应该是O(VE).

Floyd：每对节点之间的最短路径。

这里给出结论：

(1)当权值为非负时，用Dijkstra。

(2)当权值有负值，且没有负圈，则用SPFA，SPFA能检测负圈，但是不能输出负圈。

(3)当权值有负值，而且可能存在负圈，则用BellmanFord，能够检测并输出负圈。

(4)SPFA检测负环：当存在一个点入队大于等于V次，则有负环，后面有证明。

 

1)图的表示

本文中，前四个算法的图都采用邻接表表示法，如下：

struct Edge  
{  
    int from;  
    int to;  
    int weight;  
  
    Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}  
};  
  
int num_nodes;  
int num_edges;  
vector edges;  
vector G[max_nodes]; // 每个节点出发的边编号  
int p[max_nodes]; // 当前节点单源最短路中的上一条边  
int d[max_nodes]; // 单源最短路径长  

2)Dijkstra 方法

Dijkstra 方法依据其优先队列的实现不同，可以写成几种时间复杂度不同的算法。它是图论－最短路中最经典、常见的算法。关于这个方法，网上有许多分析，但是我最喜欢的还是《算法概论》中的讲解。为了理解 Dijkstra 方法，首先回顾一下无权最短路的算法。无权最短路算法基于 BFS，每次从源点向外扩展一层，并且给扩展到的顶点标明距离，这个距离就是最短路的长。我们完全可以仿照这个思路，把带权图最短路问题规约到无权图最短路问题——只要把长度大于 1 的边填充进一些「虚顶点」即可。如下图所示。

这个办法虽然可行，但是显然效率很低。不过，Dijkstra 方法EC,EB,ED分别出发，经过一系列「虚节点」，依次到达D,B,C 。为了不在虚节点处浪费时间，出发之前，我们设定三个闹钟，时间分别为4,3,2提醒我们预计在这些时刻会有重要的事情发生（经过实际节点）。更一般地说，假设现在我们处理到了某个顶点u，和u相邻接的顶点为v1,v2,…,vn，它们和u的距离为d1,d2,…,dn。我们为v1,v2,…,vn各设定一个闹钟。如果还没有设定闹钟，那么设定为d ；如果设定的时间比d晚，那么重新设定为d（此时我们沿着这条路比之前的某一条路会提前赶到）。每次闹钟响起，都说明可能经过了实际节点，我们都会更新这些信息，直到不存在任何闹钟。综上所述，也就是随着 BFS 的进行，我们一旦发现更近的路径，就立即更新路径长，直到处理完最后（最远）的一个顶点。由此可见，由于上述「虚顶点」并非我们关心的实际顶点，因此 Dijkstra 方法的处理方式为：直接跳过了它们。

还需要解决的一个问题，就是闹钟的管理。闹钟一定是从早到晚按顺序响起的，然而我们设闹钟的顺序却不一定按照时间升序，因此需要一个优先队列来管理。Dijkstra 方法实现的效率严重依赖于优先队列的实现。一个使用标准库容器适配器 priority_queue 的算法版本如下：

typedef pair HeapNode;  
void Dijkstra(int s)  
{  
    priority_queue< HeapNode, vector, greater > Q;  
    for (int i=0; i N = Q.top();  
        Q.pop();  
        int u = N.second;  
        if (N.first != d[u]) continue;  
        for (int i=0; i d[u] + e.weight) {  
                d[e.to] = d[u] + e.weight;  
                p[e.to] = G[u][i];  
                Q.push(make_pair(d[e.to], e.to));  
            }  
        }  
    }  
}  

3)Bellman-Ford：一个简单的想法

Dijkstra 方法的本质是进行一系列如下的更新操作：

 

d(v)=min{d(v), d(u)+l(u,v)}

然而，如果边权含有负值，那么 Dijkstra 方法将不再适用。原因解释如下。

假设最终的最短路径为：

 

s→u1→u2→u3→…→uk→t

不难看出，如果按照  (s, u1), (u1, u2), …,(uk, t) 的顺序执行上述更新操作，最终的最短路径一定是正确的。而且，只要保证上述更新操作全部按顺序执行即可，并不要求上述更新操作是连续进行的。Dijkstra 算法所运行的更新序列是经过选择的，而选择基于这一假设：s→t的最短路一定不会经过和距离大于l(s, t)的点。对于正权图这一假设是显然的，对于负权图这一假设是错误的。

因此，为了求出负权图的最短路径，我们需要保证一个合理的更新序列。但是，我们并不知道最终的最短路径！因此一个简单的想法就是：更新所有的边，每条边都更新∣V∣−1次。由于多余的更新操作总是无害的，因此算法（几乎）可以正确运行。等等，为什么是∣V∣−1次？这是由于，任何含有∣V∣个顶点的图两个点之间的最短路径最多含有∣V∣−1条边。这意味着最短路不会包含环。理由是，如果是负环，最短路不存在；如果是正环，去掉后变短；如果是零环，去掉后不变。

算法实现中唯一一个需要注意的问题就是负值圈 (negative-cost cycle)。负值圈指的是，权值总和为负的圈。如果存在这种圈，我们可以在里面滞留任意长而不断减小最短路径长，因此这种情况下最短路径可能是不存在的，可能使程序陷入无限循环。好在，本文介绍的几种算法都可以判断负值圈是否存在。对于 Bellman-Ford 算法来说，判断负值圈存在的方法是：在次循环之后再执行一次循环，如果还有更新操作发生，则说明存在负值圈。

Bellman-Ford 算法的代码如下：

bool Bellman_Ford(int s)  
{  
    for (int i=0; i d[edges[e].from] + edges[e].weight   
               && d[edges[e].from] != __inf) {  
                d[edges[e].to] = d[edges[e].from] + edges[e].weight;  
                p[edges[e].to] = e;  
                changed = true;  
            }  
        }  
        if (!changed) return true;  
        if (i == num_nodes && changed) return false;  
    }  
    return false; // 程序应该永远不会执行到这里  
}  

注记：

1. 如果某次循环没有更新操作发生，以后也不会有了。我们可以就此结束程序，避免无效的计算。
2. 上述程序中第 11 行的判断：如果去掉这个判断，只要图中存在负值圈函数就会返回 false。否则，仅在给定源点可以达到负值圈时才返回 false。

4)SPFA：一个改进的想法

看来，Bellman-Ford 算法多少有些浪费。这里介绍的 SPFA 可以算作是 Bellman-Ford 的队列改进版。在 Dijkstra 方法中，随着 BFS 的进行，最短路一点一点地「生长」。然而如果存在负权，我们的算法必须允许「绕回去」的情况发生。换句话说，我们需要在某些时候撤销已经形成的最短路。同时，我们还要改变 Bellman-Ford 算法盲目更新的特点，只更新有用的节点。SPFA 中，一开始，我们把源点 s放入队列中，然后每次循环让一个顶点u出队，找出所有与u邻接的顶点v，更新最短路，并当v不在队列里时将它入队。循环直到队列为空（没有需要更新的顶点）。
可以显示出 SPFA 和 Bellman-Ford 算法相比的一个重大改进的最经典的一个例子，就是图为一条链的情形。
容易看出，如果存在负值圈，这个算法将无限循环下去。因此需要一个机制来确保算法得以中止。由于最短路最长只含有∣V∣−1条边，因此如果任何一个顶点已经出队∣V∣+1次，算法停止运行。

 

证明如果有负环当且仅当存在一个点入队列次数大于等于V次:

对于某个点v，我们已知s到v的松弛路径的边的数量最多为V-1。

我这里说的松弛路径指的是：比如s直接松弛v，这样就有一条松弛路径：s->v 。s松弛a，a松弛v，则s->a->v就是一条松弛路径。

对于所有s到v的松弛路径来说，当松弛路径边的数量相等时，v只入队一次。

比如有松弛路径：

s->a->x->v

s->b->x->v

s->c->z->v，可以看出v只入队一次。

因为s到v的松弛路径的长度最多可以有V-1种变化，所以v最多入队V-1次。

举个例子：

假设有一个图，点集为{s,a,b,c,v}，则最多可能的松弛路径有：

s->v

s->a->v

s->b->v

s->c->v

s->a->b->v

s->a->c->v

s->b->c->v

s->a->b->c->v

 

则松弛路径的边数变化有1,2,3,4，所以v入队为4次，即V-1次。

 

所以我们可以说每个点最多入队V-1次，因此我们求最坏情况为每个点都入队V-1次，所以此时：

 

这里举个最坏情况的例子。

 

 

当然我们可能考虑，当给定一个V的值，E的值，比如E=2V，怎么给出一个图，使得对此图运行SPFA算法的复杂度为O(VE).

我们这里假定图是连通的，所以E>=V-1。

方法如下：

(1)我们首先将图组成一个链，即如下图所示：

 

 

这样就用去了V-1条边。

(2)分别添加v0连向v2,v3,….vk的边，我们要添加的这些边的权值要满足v0先更新vk,v0更新vk-1后vk-1还能更新vk，以此类推，如下图所示：

(3)以vk,vk-1,…..v1的顺序添加权值为正无穷的自环，且不断循环，这个步骤是为了保持v1到vk点的出度保持一致，所以这样做，如下图：

 

这样我们就构造了一个能够让SPFA跑出O(VE)的图了，原因如下：

因为我们E的值和V的值是不确定的，所以很有可能不能够完成上述的这些构造，我们会分析当没有剩余的边构造上面的步骤(2)时的复杂度（也就是说E<=2V-3，因为第一步连成一个链需要V-1条边，而第二步v0连出去的边需要V-2），和有足够的边能构造上面的图这两种情况。

 

(1)如果E<=2V-3

因为E<=2V-3，所以E=O(V)，所以只要能够求出复杂度是O(V^2)，即可说为O(VE).

我们要计算所有点的入队次数和访问的边数。

 

V0出度为 E-V+2，V0入队1次。

V1出度为1，V1入队为1次。

V2出度为1，V2入队为2次（分别为v0松弛v2，v1松弛v2）。

V3出度为1，V3入队为3次。

….

V(e-v+2)出度为1，入队次数为(E-V+2)次。

后面V(e-v+3),V(e-v+4),…..V(k-1)的出度为1，入队次数为E-V+2次。 这些点的个数为V-(E-V+3)-1 = 2V-E-4。

vk出度为0，vk入队为E-V+2次。

 

所以总共的访问的边数为：

 

(2)如果E>2V-3

此时构造图的第二步已经完毕，所以后面剩余的边只需要不断添加自环保持出度平衡即可。

 

V0出度为V-1，入队1次。

V1到Vk出度为(E-V+2)/(V-1) 或(E-V+2)/(V-1)+1。

v1到vk的入队次数分别为1,2,3,…..V-1。

 

所以总共访问边数为：

SPFA 的代码如下：

bool in_queue[max_nodes];  
int cnt[max_nodes];  
bool SPFA(int s)  
{  
    int u;  
    queue Q;  
    memset(in_queue, 0, sizeof(in_queue));  
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));  
    for (int i=0; i d[u] + e.weight) {  
                d[e.to] = d[u] + e.weight;  
                p[e.to] = G[u][i];  
                if (!in_queue[e.to]) {  
                    Q.push(e.to);  
                    in_queue[e.to] = true;  
                    if (++cnt[e.to] > num_nodes)  
                        return false;  
                }  
            }  
        }  
    }  
    return true;  
}  

我们已经给出 SPFA 的运行时间为O(k⋅∣E∣) (k≪∣V∣)。实际上，可以期望k<2。但是可以构造出使 SPFA 算法变得很慢的针对性数据。

5)Acyclic Shortest Path

如果图是无圈的（acyclic）（或称为有向无环图，DAG），那么情况就变的容易了。我们可以构造一个拓扑升序序列，由拓扑排序的性质，无圈图的任意路径中，顶点都是沿着「拓扑升序序列」排列的，因此我们只需要按照这个序列执行更新操作即可。显然，这样可以在线性时间内解决问题。

实现上，拓扑排序和更新可以一趟完成。这种算法的代码如下：

int indegree[max_nodes];  
void asp(int s)  
{  
    queue Q;  
    for (int i=0; i d[w] + edges[G[w][i]].weight && d[w] != __inf) {   
                d[edges[G[w][i]].to] = d[w] + edges[G[w][i]].weight;  
                p[edges[G[w][i]].to] = G[w][i];  
            }  
            if (–indegree[edges[G[w][i]].to] == 0)  
                Q.push(edges[G[w][i]].to);  
        }  
    }  
}  

6)Floyd-Warshall

与前面四种不同，Floyd-Warshall 算法是所谓的「全源最短路径」，也就是任意两点间的最短路径。它并不是对单源最短路径

∣V∣次迭代的一种渐进改进，但是对非常稠密的图却可能更快，因为它的循环更加紧凑。而且，这个算法支持负的权值。

Floyd-Warshall 算法如下：

int dist[max_nodes][max_nodes]; // 记录路径长  
int path[max_nodes][max_nodes]; // 记录实际路径  
bool Floyd_Warshall()  
{  
    for (int i=0; i dist[i][k] + dist[k][j]  
                 && dist[i][k] != __inf && dist[k][j] != __inf) {  
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];  
                    path[i][j] = path[i][k];  
                    if (i == j && dist[i][j] < 0)  
                        return false;  
                }  
            }  
        }  
    }  
    return true;  
}  

其中 dist 数组应初始化为邻接矩阵。需要提醒的是， dist[i][i] 实际上表示「从顶点 i 绕一圈再回来的最短路径」，因此图存在负环当且仅当 dist[i][i]<0。初始化时， dist[i][i]可以初始化为0，也可以初始化为∞。

7)显示实际路径

显示实际路径实际上非常简单。利用前四个算法提供的 int *p，还原实际路径的一个方法如下：

void printpath(int from, int to, bool firstcall = true)  
{  
    if (from == to) {  
        printf(”%d”, from);  
        return;  
    }  
    if (p[to] == -1) return;  
    if (firstcall) printf(“%d ->”, from);  
    int v = edges[p[to]].from;  
    if (v == from) {  
        if (firstcall) printf(“ %d”, to);  
        return;  
    }  
    printpath(from, v, false);  
    printf(” %d ->”, v+1);  
    if (firstcall) printf(“ %d”, to);  

利用 Floyd-Warshall 算法提供的 int **path，还原实际路径的一个方法如下：

void showpath(int from, int to)  
{  
    int c = from;  
    printf(”%d -> %d:(%2d)  %d”, from, to, dist[from][to], from);  
    while (c != to) {  
        printf(” -> %d”, path[c][to]);  
        c = path[c][to];  
    }  
    printf(”\n”);  
}