冈萨雷斯《数字图像处理》学习笔记（4）--图像复原与重建(含傅里叶切片定理推导)

一、图像复原模型

若H是线性的，空间不变的过程，则退化图像在空间域通过下式给出:

g(x,y)=h(x,y)∗f(x,y)+δ(x,y) g ( x , y ) = h ( x , y ) ∗ f ( x , y ) + δ ( x , y )

其中，h(x, y)是退化函数的空间表示，符号 ∗ ∗ 表示卷积。空间域的卷积和频域的乘法组成了一个傅里叶变换对，所以可以用等价的频域表示来写出前面的模型:

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v) G ( u , v ) = H ( u , v ) F ( u , v ) + N ( u , v )

一、图像重建模型

CT成像原理的实质是衰减系数成像。主要涉及朗伯比尔定律和Rodon变换

1. 朗伯比尔定律
具体的可以通过百度了解。简单来说，就是每种物质的核外电子数目都不一样，对X光的吸收也不一样。通过检测前后能量的差异可以求出物体对X光的吸收能力的大小，也就是衰减系数。把不同的衰减系数对应到不同的像素值，就得到X光照片。

2. Rodon变换
笛卡尔坐标系中的一条直线可以由 y=ax+b y = a x + b 来描述，可以写出它的法线式（即垂直于 y=ax+b 的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为 θ θ ， ρ ρ 是该线段的长度）：

xcosθ+ysinθ=ρ x c o s θ + y s i n θ = ρ

平行射线束的投影可由这样的一组直线建模，看下图：

投影平面上任意一点的坐标 (ρj,θk) ( ρ j , θ k ) 由沿着线 xcosθk+ysinθk=ρj x c o s θ k + y s i n θ k = ρ j 的射线和给出。该射线和是一个线积分，由下式给出：

g(ρj,θk)=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)δ(xcosθk+ysinθk−ρj)dxdy g ( ρ j , θ k ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) δ ( x c o s θ k + y s i n θ k − ρ j ) d x d y

其中， δ(x)={1,0, if x=0 if x≠0 δ ( x ) = { 1 ,  if  x = 0 0 ,  if  x ≠ 0
这个函数意味着积分是沿着 xcosθk+ysinθk=ρj x c o s θ k + y s i n θ k = ρ j 这条射线计算的。考虑 ρ ρ 和 θ θ 的所有值，可以推广到：

g(ρ,θ)=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)δ(xcosθk+ysinθk−ρj)dxdy g ( ρ , θ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) δ ( x c o s θ k + y s i n θ k − ρ j ) d x d y

这就是Rodon变换。

接下来我们需要得到不同角度的反投影再通过求和来重建图像。为了得到反投影的表达式，我们从固定单个点 g(ρj,θk) g ( ρ j , θ k ) 开始，只需将线 L(ρj,θk) L ( ρ j , θ k ) 复制到图像上即可，其中沿该条线的所有的点的值是 g(ρj,θk) g ( ρ j , θ k ) 。我们对投影信号的中的所有 ρj ρ j 都重复这个过程，得到如下表达式：

fθk(x,y)=g(xcosθk+ysinθk,θk) f θ k ( x , y ) = g ( x c o s θ k + y s i n θ k , θ k )

很明显，该公式适合所有的角度。推广到一般（即所有角度）：

fθ(x,y)=g(xcosθ+ysinθ,θ) f θ ( x , y ) = g ( x c o s θ + y s i n θ , θ )

最后对所有反投影图像积分，得到最后的图像：

f(x,y)=∫π0fθ(x,y)dθ f ( x , y ) = ∫ 0 π f θ ( x , y ) d θ

因为0度和180度互为镜像，因此求和操作只需执行到180度之前的最后一个角度增量。但使用这种方法得到的结果比较模糊，不能令人满意。但我们可以用 傅里叶切片定理重新表示反投影方法来得到明显增强的结果。

傅里叶切片定理
G(ω,θ)=∫∞−∞g(ρ,θ)e−j2πωρdρ=F(ωcosθ,ωsinθ) G ( ω , θ ) = ∫ − ∞ ∞ g ( ρ , θ ) e − j 2 π ω ρ d ρ = F ( ω c o s θ , ω s i n θ )

（中间的式子由一维傅里叶变换给出，推导可见我上篇博客）冈萨雷斯《数字图像处理》学习笔记（3）–频率域滤波(含傅里叶变换推导)

该定理表明，一个投影的傅里叶变换，是得到该投影区域的二维傅里叶变换的一个切片。下图说明了这个结果：

傅里叶切片定理证明：

G(ω,θ)==∫∞−∞g(ρ,θ)e−j2πωρdρ=∫∞−∞∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)δ(xcoxθk+ysinθk−ρj)e−j2πωρdxdydρ∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)[∫∞−∞δ(xcoxθk+ysinθk−ρj)e−j2πωρdρ]dxdy=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)e−j2πω(xcosθ+ysinθ)dxdy(1)(2)(3)(4) (1) G ( ω , θ ) = ∫ − ∞ ∞ g ( ρ , θ ) e − j 2 π ω ρ d ρ (2) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) δ ( x c o x θ k + y s i n θ k − ρ j ) e − j 2 π ω ρ d x d y d ρ (3) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) [ ∫ − ∞ ∞ δ ( x c o x θ k + y s i n θ k − ρ j ) e − j 2 π ω ρ d ρ ] d x d y (4) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) d x d y

然后我们令 u=ωcosθ u = ω c o s θ 和 v=ωsinθ v = ω s i n θ ，得到：

G(ω,θ)=[∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdy]u=ωcosθ；v=ωsinθ=[F(u,v)]u=ωcosθ；v=ωsinθ=F(ωcosθ,ωsinθ)(5)(6)(7) (5) G ( ω , θ ) = [ ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( u x + v y ) d x d y ] u = ω c o s θ ； v = ω s i n θ (6) = [ F ( u , v ) ] u = ω c o s θ ； v = ω s i n θ (7) = F ( ω c o s θ , ω s i n θ )

证毕！

接下来利用滤波反投影重建图像.
给定F(u,v)，使用傅里叶反变换得到f(x,y):

f(x,y)=∫∞−∞∫∞−∞F(u,v)ej2π(ux+vy)dudv f ( x , y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F ( u , v ) e j 2 π ( u x + v y ) d u d v

令 u=ωcosθ u = ω c o s θ 和 v=ωsinθ v = ω s i n θ
由雅可比行列式：

|J|=∣∣∣∣∂u∂ω∂v∂ω∂u∂θ∂v∂θ∣∣∣∣=∣∣∣cosθsinθ−ωsinθωcosθ∣∣∣=ω | J | = | ∂ u ∂ ω ∂ u ∂ θ ∂ v ∂ ω ∂ v ∂ θ | = | c o s θ − ω s i n θ s i n θ ω c o s θ | = ω

我们得到 dudv=ωdωdθ d u d v = ω d ω d θ
则可把前面的积分表示成极坐标的形式:

f(x,y)=∫2π0∫∞0F(ωcosθ,ωsinθ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ f ( x , y ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ F ( ω c o s θ , ω s i n θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ

由上面的傅里叶切片定理有：

f(x,y)=∫2π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ f ( x , y ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ

又根据 cos(θ+π)=−cos(θ) c o s ( θ + π ) = − c o s ( θ ) 和 sin(θ+π)=−sin(θ) s i n ( θ + π ) = − s i n ( θ ) ，所以有：

G(ω,θ+π)=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)e−j2πω(−xcoxθ−ysinθ)dxdy=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)e−j2π(−ω)(xcoxθ+ysinθ)dxdy=G(−ω,θ)(638)(639)(640) (638) G ( ω , θ + π ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ω ( − x c o x θ − y sin ⁡ θ ) d x d y (639) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( − ω ) ( x c o x θ + y sin ⁡ θ ) d x d y (640) = G ( − ω , θ )

则上式积分可以拆分成这样：

f(x,y)=∫2π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ=∫π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ+∫2ππ∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ=∫π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ+∫π0∫∞0G(ω,θ+π)ej2πω(−xcosθ−ysinθ)ωdωdθ=∫π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ+∫π0∫∞0G(−ω,θ)ej2π(−ω)(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ→换元 t=−ω=∫π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ+∫π0∫−∞0G(t,θ)ej2π(t)(xcosθ+ysinθ)tdtdθ=∫π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ−∫π0∫0−∞G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ=∫π0∫∞−∞G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)|ω|dωdθ(641)(642)(643)(644)(645)(646)(647)(648)(649)(650)(651)(652)(653)(654)(655) (641) f ( x , y ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ (642) = ∫ 0 π ∫ 0 ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ (643) + ∫ π 2 π ∫ 0 ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ (644) = ∫ 0 π ∫ 0 ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ (645) + ∫ 0 π ∫ 0 ∞ G ( ω , θ + π ) e j 2 π ω ( − x c o s θ − y s i n θ ) ω d ω d θ (646) = ∫ 0 π ∫ 0 ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ (647) + ∫ 0 π ∫ 0 ∞ G ( − ω , θ ) e j 2 π ( − ω ) ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ (648) (649) → 换 元   t = − ω (650) (651) = ∫ 0 π ∫ 0 ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ (652) + ∫ 0 π ∫ 0 − ∞ G ( t , θ ) e j 2 π ( t ) ( x c o s θ + y s i n θ ) t d t d θ (653) = ∫ 0 π ∫ 0 ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ (654) − ∫ 0 π ∫ − ∞ 0 G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) ω d ω d θ (655) = ∫ 0 π ∫ − ∞ ∞ G ( ω , θ ) e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) | ω | d ω d θ

前面的公式是平行射线束x射线断层的基本结果。它表明完全的反投影图像f(x,y)是由一组平行射线束投影通过如下步骤得到的：