贪心算法（Greedy Algorithm）分析

根据《算法的乐趣》阅读总结：

贪心算法每一步选择完后，局部最优解就确定了，不再进行回溯处理，也就是说，每一个步骤的局部最优解确定以后，就不再修改了，知道算法结束。因为不在进行回溯处理

贪心算法只在很少的情况下可以得到最优解，比如最短路径问题，图的最小生成树问题

贪心算法的基本设计思想有三个步骤：

1. 建立对问题精确描述的数学模型，包括定义最优解模型；
2. 将问题分解为一系列子问题，同时定义子问题的最优解结构；
3. 应用贪心算法原则确定每个子问题的局部最优解，并根据最优解的模型，用子问题的局部最优解堆叠出全局的最优解

背包相关问题

1. 最优装载问题
   给出n个物体，第i个物体重量为wi。选择尽量多的物体，使得总的重量不超过C。

   —— 只关心数量，所以只需要将物体的重量排序，按照先装重量小的原则来装

2. 部分背包问题
   有n个物体，第i个物体的重量为wi，价值为vi。在总重量不超过C的情况下让总价值尽量高。每一个物体都可以取走一部分，价值和重量按比例计算。

   ——优先拿“价值除以重量值最大的”，直到重量和为C。（由于每个物体可以只拿一部分，因此可以一定可以让总重量恰好为C(或者全部拿走重量都不满足C)，而且除了最后一个物体外，要么不拿，要么全部拿走）

3. 乘船问题
   有n个人，第i个人重量为wi，每艘船的最大载重量均为C，且最多只能乘两个人。用最少的船载所有人。

   ——最轻的人应该和选择能和他一起坐船的人中最重的一个j。首先将数据排序，用两个下标i和j表示最轻的和最重的，每次首先将j减一，找到能和j一起坐船的人，然后i加一，重复。且最后比j重的人只能一个人做一艘船了，没有最轻和他一起坐船了，此方法时间复杂度为O(n)。

区间相关问题

1. 选择不相关区间
   数轴上有n个开区间(ai,bi)。选择尽量多的区间，使得这些区间两两没有公共点。

   ——按照bi从小到大的顺序给区间排序。贪心策略“一定要选择第一个区间。”当a1>a2选择被包含的区间(a1,b1)，当(a1小于a2小于a3)，还是选择(a1,b1)，只有这样才能节省出更多的位置来选择更多的区间。选择了1区间后，要把和区间1相交的区间排除在外，需要记录上一个被选择的区间编号。
   

2. 区间选点问题
   数轴上面有n个闭区间[ai,bi]。尽量选取少的点，使得每个区间内都至少有一个点（不同区间内含的点可以是同一个）

   ——如果区间i内有一个点被取到，则称此区间被满足，首先讨论区间包含的情况，当小区间满足时，大区间也一定满足，所以在区间包含的情况下，应选择小区间。当时其他情况下是，吧所有区间按照b从小到大顺序排序（b相同时a从大到小排序），则如果出现区间包的情况，小区间一定排在前面，第一个区间应该取那个点呢？此处的贪心的策略是：取最后一个点。
   

3. 区间覆盖问题
   数轴上有n个闭区间[ai,bi]，选择尽量少的区间覆盖一条指定线段[s,t]。

   ——本题的区间仍是区间包含和排序扫描，不过要先经过一次预处理。每个区间在[s,t]外的部分都应该预先被切掉，因为他们存在是毫无意义的，预处理后，在相互包含的情况下，小区间显然不应该被考虑。把个区间按照a从小到大的排序。如果区间1的起点不是s，无解（因为其他区间的起点更大，不可能覆盖到s点），否则选择起点在s的最长区间。选择此区间[ai,bi]后，下一个区间的新的起点应该设置为bi，并且忽略所有在区间bi之前的部分，就想预处理一样，此贪心仍然只需要一次扫描，s为当前有效起点。