欧几里得算法/扩展欧几里得算法

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说在前面

出于尊重，简单介绍一下欧几里得（想了解更多自己百度去）
欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，公元前330年—公元前275年），古希腊数学家。他活跃于托勒密一世（公元前364年－公元前283年）时期的亚历山大里亚，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

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欧几里得算法

简介欧几里得算法
欧几里得算法（也称辗转相除法）是目前已知求最大公约数的最快通用算法，具有代码复杂度低、易理解、用途广等诸多优点，也是OI中不可或缺的的一种算法。（信息学白皮书里也有提到）
若有两个数a和b，需要求a和b的最大公约数，怎么办？
枚举它们的因子？ 小数据可以，大数据的话，这个O（n）的算法就图森破了。
分解质因数？在大数面前也是拿衣服的。
总不能不搞吧，上帝喊了一声“效率”，于是我们便有了O（log n）效率极高的欧几里得算法。

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引理
欧几里得有个非常强的定理，即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，让我们来证明一下（mod 是取余，gcd是最大公约数，| 是能整除）
假设a、b的公约数为k，a = bx + y
则 k | a，k | b，a mod b=y
因为 k | b，所以 k |bx，又因为 k | a，所以 k | (a - bx)，即 k | y
而a mod b = y，所以 k | a mod b
再假设b、a mod b的公约数为kk，同理得 kk | a，所以（a，b）和（b，a mod b）的公约数是相同的，所以它们的最大公约数也是相同的
所以gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

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时间复杂度（讨论情况为a>=b）
a mod b必然是小于a/2的，而上一次的b会变成下一次的a，上一次的a mod b会变成下一次的b，最坏情况也就是b在a/2附近，即a mod b在a/2附近。在最坏情况时每次的值也会减少一半，所以说时间复杂度是O（log n）的。（实际中往往会更低）

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算法实现
有了以上的引理算法实现就非常简单了，递归和非递归形式都可以。任何数与0的最大公约数是它本身，所以一直操作直到b = 0时的a就是原a，b的最大公约数了。
伪代码：

while(b!=0)
{
    r = a % b;
    a = b;
    b = r;
}
//最终的a即为原a,b最大公约数

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扩展欧几里得算法

简介扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法的功能就更强大了，它可以用来求二元一次方程的通解，还可以用来求乘法逆元。
在此顺便简介一下乘法逆元：
若有 a*x ≡ 1 （mod m），则称 x 为a关于m的乘法逆元，等价式 a * x+m * y = 1
这就也是个二元一次方程了，ExGcd可搞。

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引理
裴蜀定理：若ax+by = z，则 gcd（a，b）| z
再顺手证明一下裴蜀定理：
设k = gcd（a，b），则 k | a， k | b，根据整除的性质，有 k | （ax+by）
设 s为ax+by的最小正数值
再设 q = [a / s]（a整除s的值）；r = a mod s = a-q（ax+by） = a（1 - qx）+b（-qy）；
由此可见r也为a，b的线性组合；（ax+by称为a，b的线性组合）
又因为s为a，b的线性组合的最小正数值，0<= r < s，所以r的值为0，即 a mod s = r =0；s | a；
同理可得 s | b，则 s | k；
又因为 k | （ax+by），s为ax+by的最小正数值，所以 k | s；
因为 s | k，k | s，所以s = k；
原命题得证。
（点这里有裴蜀定理与乘法逆元的详解）

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如何求解 （以下讨论a>b）
显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
当a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd（a，b）；
bx2+ （a mod b）y2= gcd（b，a mod b）；
根据欧几里德原理有 gcd（a，b） = gcd（b，a mod b）；
则：ax1+ by1= bx2+ （a mod b）y2；
即：ax1+ by1= bx2+ （a - [a / b] * b）y2 = ay2+ bx2- [a / b] * by2；（a mod b = a - [a / b]*b；[a / b]代表a整除b）
也就是ax1+ by1 = ay2 + b（x2- [a / b] *y2）；
根据恒等定理得：x1=y2；y1=x2- [a / b] *y2；
这样我们就得到了求解 x1，y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2
由引理我们知道：ax+by = z，z为gcd（a，b）若干倍，所以我们先求解ax+by = gcd（a，b），再将求出的解乘以 z/gcd（a，b）就好了。

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算法实现
我们依旧递归实现，因为上一次的x，y与下一次的x，y的值有关，所以我们从x=1，y=0（此时b=0）的情况开始递归上来，套公式就好了。（a，b下去，x，y上来）
伪代码：

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exGcd(b,a%b,x,y);
    t = x; x = y;
    y = t-a/b*y;
    return r;
}

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按照惯例再说两句

本人蒟蒻一枚，博客难免有误，发现错误的大牛牪犇可以发私信联系本人指正错误。另外本博客可能会更新，可以考虑收藏一下。
好了，暂时就讲这么多了，如果绝对这里讲解得不够详细，也可以私信联系本人交流一下。
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