回溯算法（Backtracking）说明与实例
定义
回溯算法（Backtracking）在很多场景中会使用，如N皇后，数迷，集合等，其是暴力求解的一种优化。参考https://en.wikipedia.org/wiki/Backtracking 中的说明，定义如下：
Backtracking is a general algorithm for finding all (or some) solutions to some computational problems, notably constraint satisfaction problems, that incrementally builds candidates to the solutions, and abandons each partial candidate c (“backtracks”) as soon as it determines that c cannot possibly be completed to a valid solution
从上文中可以得出， 核心的含义是 回溯算法是通过一步一步（通常是用递归）构建可能”解”，并且回溯不可能”解”来求所有或者部分解决方案的通用算法。其中“回溯”的具体意思就是将不可能解或者部分解的候选尽早的舍弃掉，“解”需要满足一定的限制条件（constraint satisfaction）
通用算法
这里介绍一下回溯算法的通用思想，一般来讲，会设置一个递归函数，函数的参数会携带一些当前的可能解的信息，根据这些参数得出可能解或者不可能而回溯。
参考 http://web.cse.ohio-state.edu/~gurari/course/cis680/cis680Ch19.html 这里面有一个通用的算法
ALGORITHM try(v1,...,vi) // 这里的V1.....V2携带的参数说明 “可能解”
// 入口处验证是否是全局解，如果是，直接返回。
// 实际编程中也需要查看是否是无效解，如果是，也是直接返回
IF (v1,...,vi) is a solution THEN RETURN (v1,...,vi)
FOR each v DO // 对于每一个可能的解，进行查看
// 下面的含义是形成一个可能解 进行递归
IF (v1,...,vi,v) is acceptable vector THEN
sol = try(v1,...,vi,v)
IF sol != () THEN RETURN sol
// 这个地方其实需要增加“回溯” 处理，实际编程中通常是函数参数的变化
END
END
RETURN () 经典算法
- N皇后问题
这个是一个比较经典的问题， 意思是将N个“皇后”放在N*N的棋盘上，每个皇后不能再同一列，同一行，和斜对角 （这个就是限制条件constraint satisfaction）。 下面是回溯算法的需求所有的可能解。
算法基本的步骤思想为：
1）从第一行开始
2 ）如果所有的皇后已经放置完成， 生成解，并且返回true
3）尝试当前行的所有列，如果当前行与列是合法的
3.1 修改棋盘让其成为部分解，
3.2 然后递归查看（主要是2, 3，4）该解是否合法
3.3 Backtrack 棋盘进行回溯
4） 如果上述所有的组合都为非法，返回false
// 寻找N皇后问题的可能解， 我们用 '.' 表示不放置皇后，用'Q'表示放置皇后
// 利用vector 表示一个解决方案, vector> 表示
// 所有的解决方案。
// 在递归初，我们可以生成一个待解的棋盘
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
string tmp (n, '.');
//生成一个N*N待解的棋盘，没有任何皇后
vector<string> broad (n, tmp);
nQueue = n;
vector<vector<string>> ans；
solveNQueensHelper (ans， broad, 0, nQueue );
return ans;
}
// 回溯算法的递归函数，
bool solveNQueensHelper (vector<vector<string>>& ans， vector<string> &broad, int row， int nQueue)
{
// 如果当前的行数大于或者等于皇后数，说明当前棋盘是一个解
// 直接返回
if(row >= nQueue){
ans.push_back(broad);
return true;
}
// 从当前行的列中选取一个可能解
for (int column = 0; column < nQueue; column++){
// 查看一下，当前可能解是否有效，只有有效，才可能继续递归
if(isOk (broad, row, column))
{
// 有效，修改可能解的棋盘
broad[row][column] = 'Q';
// 递归调用是否可能解
if (solveNQueensHelper (ans, broad, row + 1, nQueue)){
// return true;
}
// 回溯， 去生成其他解
broad[row][column] = '.';
}
}
return false;
}
// 查看当前部分解是否有效
bool isOk (const vector<string> &broad, int row, int column){
// 查看
for (int i = 0; i <= row; i++)
{
if(broad [i] [column] == 'Q'){
return false;
}
}
int tmpRow = row;
int tmpColumn = column;
while (tmpRow >= 0 && tmpColumn >= 0)
{
if(broad [tmpRow] [tmpColumn] == 'Q'){
return false;
}
tmpRow--,
tmpColumn--;
}
tmpRow = row;
tmpColumn = column;
while (tmpRow >= 0 && tmpColumn < nQueue)
{
if(broad [tmpRow] [tmpColumn] == 'Q'){
return false;
}
tmpRow--,
tmpColumn++;
}
return true;
}
};Sudoku （数独）问题
具体的规则可以参考http://baike.baidu.com/link?url=O1_QD4u8Y_XbimweAX1L7oj8TP0hZcYDpSQxp-VgmjQtoAv-Oxp6ynWANF1Pcy1FC6c8OjRJUdIMRQaRTC_C7akUxTLSX3U1vfqGmz3hs0mU9sJAlT01xMaaMTKtb8h99hTwIIsTDXqGtamAaH_36q
其要求，1-9的数不能出现在同一列，同一行，或者同一个3*3的格子中。
算法思想如下：
1 ）找到一个空格子，如果找不到， 说明已经填满，这是一个解，返回true
2 ）从1 - 9 的数字中填上找到的空格子，如果合法
2.1 生成部分解，递归调用 1）2） 3）
2.2 如果递归调用返回true，说明合法
2.3 回溯部分解
3）上述都不成，直接返回false
c++的代码实现如下：
// board 是一个9*9的格子，如果空格子，用'.' 表示，否则为1-9的数字
void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
// 递归调用该函数
helperSolveSudoku (board);
}
bool helperSolveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
int row = 0;
int colum = 0;
// step1， 获取一个空格, 如果没找到，说明已经填满。
if ( !GetNextUnsignedOne (board, row, colum) )
return true;
// Step2： 从1-9 分别填上棋盘
for (char num = '1'; num <= '9'; num++ ){
// 查看当前的数字放入棋盘中是否合法
if (isNumOk (board, row, colum, num) ){
// step2.1 生成部分解，递归调用
board[row][colum] = num;
if (helperSolveSudoku (board) )
{
// 如果解合法，直接返回
return true;
}
// 回溯部分解
board[row][colum] = '.';
}
}
// step3 没有解，直接返回false
return false;
}
// 帮助函数以获取一个可能的空位置
bool GetNextUnsignedOne(const vector<vector<char>>& board, int &row, int& column){
for(int i = 0; i < 9; i++){
for(int j = 0; j < 9; j++){
if (board [i] [j] == '.'){
row = i;
column = j;
return true;
}
}
}
return false;
}
// 帮助函数以验证数字在当前是否合法
bool isNumOk (const vector<vector<char>>& board, int row, int column, char num){
// check the row is ok or not
for(int i = 0; i < 9; i++){
if(board [row] [i] == num){
return false;
}
}
// check the colum is ok or not
for(int i = 0; i < 9; i++){
if(board [i] [column] == num){
return false;
}
}
int startRow = row - row % 3;
int startcolumn = column - column %3;
// check the 3*3 inbox is ok for not.
for (int i = 0; i < 3; i++){
for(int j = 0; j < 3; j++)
{
if(board [startRow + i] [startcolumn + j] == num){
return false;
}
}
}
return true;
}- 集合问题
有一个数组，产生一个集合，该集合能包含所有的元素，如 【1，2，3】数组可以满足的集合就是【1，2,3】【1，3,2】【2，1,3】【2，3,1】【3，1,2】【3，2,1】.
这个也可以用回溯的方式实现
基本算法思想为：
1） 查看当前的集合，是否满足所有元素的集合，如果满足，返回
2) 从数组挑选一个元素，查看当前的元素是否属于部分解
2.1 如果不属于部分解，将元素加入到部分解
2.2 递归调用 1， 2， 3
2.3 回溯该元素
3 数组元素完成，直接返回
具体实现的C++代码如下：
vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
vector<vector<int>> ans;
vector<int> tmpRes;
permuteHelper (ans, tmpRes, nums);
return ans;
}
// 帮助函数以实现数据集合功能
// ans 表示几个数组
// tmpRes 表示部分解
// nums 表示的当前数组元素个数
void permuteHelper(vector<vector<int>>& ans, vector<int>&tmpRes, vector<int>& nums){
// step1 如果部分解的元素个数和数字的元素相同，直接插入
if(tmpRes.size () == nums.size ()){
ans.push_back (tmpRes);
return;
}
//step2 从集合中选定一个元素
for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
if(std::find (tmpRes.begin(), tmpRes.end(), nums [i]) == tmpRes.end()){
//step 2.1 如果部分解不包含该元素，
// 其实也可以用一个set 来判定是否含有该元素。
tmpRes.push_back (nums [i]);
//step 2.2 递归调用
permuteHelper (ans, tmpRes, nums);
// 回溯部分解
tmpRes.pop_back();
}
else{
continue;
}
}
// Step3,完成，直接返回
return；
}