算法复杂度——时间复杂度

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大O表示法

 
算法复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估，由于平均情况大多和最坏情况持平，而且评估最坏情况也可以避免后顾之忧，因此一般情况下，我们设计算法时都要直接估算最坏情况的复杂度。 
大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以为1、n、logn、n²等，因此我们可以将

O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分别可以称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶，

那么如何推导出f(n)的值呢？我们接着来看推导大O阶的方法。

 

推导大O阶

 

推导大O阶，我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法： 
1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。 
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

 

常数阶

 

先举了例子，如下所示。

 

int sum = 0,n = 100; //执行一次  
  sum = (1+n)*n/2; //执行一次  
  System.out.println (sum); //执行一次 

 

 

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据推导大O阶的规则1，我们需要将常数3改为1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。如果sum = （1+n）*n/2这条语句再执行10遍，因为这与问题大小n的值并没有关系，所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，我们可以称之为常数阶。

 

线性阶

 

线性阶主要要分析循环结构的运行情况，如下所示。

 

for(int i=0;i

 

 

上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)。

 

对数阶

 

接着看如下代码：

 

int number=1;
while(number

 

 

可以看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

 

平方阶

 

下面的代码是循环嵌套：

 

for(int i=0;i

 

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，现在经过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。 
接下来我们来算一下下面算法的时间复杂度：

 

for(int i=0;i

 

需要注意的是内循环中int j=i，而不是int j=0。当i=0时，内循环执行了n次；i=1时内循环执行了n-1次，当i=n-1时执行了1次，我们可以推算出总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1 
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+…… 
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+…… 
=(n+1)n/2 
=n(n+1)/2 
=n²/2+n/2

根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条：只保留最高阶，因此保留n²/2。根据第三条去掉和这个项的常数，则去掉1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。