机器学习——矩阵知识复习

一. 矩阵知识复习

此文只给出一些机器学习中常用的矩阵知识和公式，方便复习和查询。

1.1 矩阵乘法

Am×pBp×n=Cm×n

1.2 矩阵乘法性质

• 不满足交换律： A×B≠B×A
• 满足结合律： A×(B×C)=(A×B)×C
• (A+B)2=A2+AB+BA+B2
• (AB)2=(AB)(AB)≠A2B2

1.3 矩阵的逆和转置

• 矩阵的逆：若矩阵A 是一个 m × m矩阵（方阵），则：
  
  AA−1=A−1A=I
• 矩阵的转置：设A 为 m × n 阶矩阵（即m行n列）, 第i行j列的元素为a(i, j), 定义A的转置为这样一个n × m阶矩阵B， 满足b(i, j) = a(j, i)(B的第i行j列元素是A的第j行i列元素), 即 AT=B （或 A′=B ）。

1.4 转置基本性质

• (A±B)T=AT±BT
• (A×B)T=BT×AT (在公式化简中常用到)
• (AT)T=A

1.5 逆矩阵运算规律

• (AB)−1=B−1A−1
• (kA)−1=A−1/k
• (A−1)T=(AT)−1
• (An)−1=(A−1)n

注意：在matlab和octave中用 A′ 表示A的转置，用 A−1 可求A的逆矩阵。

二. Octave基本操作

octave是一款免费的科学计算软件，提供了强大的线性与非线性的数值计算，同时可以提供了强大的机器学习算法和各种数据可视化的功能，它的语法简单（几乎想数学公式一样），并且在很多语法上与MATLAB是相似的，很适合作为机器学习的一款工具。

2.1 安装

安装步骤请参考：http://mooc.guokr.com/note/15825/

2.2 基本操作

1. octave-cli 进入octave的命令行
2. 基本运算符： +、-、x、/、^
3. 逻辑运算符： &&、||、xor、==、~=
4. 注释： %注释的内容
5. 打印： disp(a) 输出变量a的值
6. 格式化输出： disp(sprintf(‘2 decimals: %0.2f’, a)) 输出两位小数点
7. 常用常量：pi表示圆周率 π 、exp(2)表示 e2

2.3 矩阵相关操作

1. 矩阵赋值：A = [3 4; 2 16] :
   [32416]
2. 初始化全为1的矩阵 ones(2,3) ：
   [111111]
3. 初始化全为0的矩阵 zeros(2,3) ：
   [000000]
4. 初始化随机数矩阵 (数值介于0和1之间) rand(1,3) ：
   [0.154240.421560.66853]
5. 初始化正态分布随机数矩阵 randn(3,3) ：
   ⎡⎣⎢⎢1.26822−1.36620−1.67345−0.12608−0.17518−0.34060−1.024540.590341.99185]⎤⎦⎥⎥
6. 生成单位矩阵 eye(3) ：
   ⎡⎣⎢⎢100010001⎤⎦⎥⎥
7. 生成魔方矩阵 magic(3) :
   ⎡⎣⎢⎢834159672⎤⎦⎥⎥

2.4 移动元素

1. 从文件加载数据：load(‘filename’) 更多信息参考命令：help load
2. 保存数据到文件： save xxx.mat v 以二进制格式存储变量v到文件xxx.mat中； save xxx.txt v 以文本格式存储
3. 显示当前内存中的变量信息： whos
4. 清除内存中的变量： clear
5. 取矩阵的某个元素 A = [1 2; 3 4; 5 6];
   A(3,2)=6
6. 取矩阵的某行或某列的元素 A = [1 2; 3 4; 5 6];
   
   A(2,:)=[34]取第二行所有元素
   
   
   A(:,2)=⎡⎣⎢⎢246⎤⎦⎥⎥取第二列所有元素
   
   
   A([1 3],:)=[1526]取第一行和第三行的元素
7. 给矩阵的某一行或列赋值 A = [1 2; 3 4; 5 6];
   
   A(:,2)=[10;11;12]给第二列赋值（类似可以给某一行赋值）
   
   
   输出A:⎡⎣⎢⎢135101112⎤⎦⎥⎥
8. 给矩阵增加一行或列 A = [1 2; 3 4; 5 6];
   
   A=[A,[100;101;102]];给A右侧增加一列
   
   
   输出A:⎡⎣⎢⎢135246100101102⎤⎦⎥⎥
9. 矩阵连接 A = [1 2; 3 4; 5 6]; B = [11 12; 13 14; 15 16];
   C = [A B];
   
   输出C:⎡⎣⎢⎢135246111315121416⎤⎦⎥⎥
   
   C = [A ; B];
   
   输出C:⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢135111315246121416⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2.5 计算

A=[1 2; 3 4; 6 7]; B = [11 12; 13 14; 15 16]; C = [1 1; 2 2];
1. 矩阵乘法

A∗C=⎡⎣⎢⎢5111751117⎤⎦⎥⎥

2. 矩阵点乘 (一般点操作为元素位运算)

A .∗ B=⎡⎣⎢⎢113975245696⎤⎦⎥⎥

3. 矩阵点除

1./A=⎡⎣⎢⎢10.333330.20.50.250.16667⎤⎦⎥⎥

4. 其他函数 abs、log、exp等均为对矩阵每个元素做运算
5. 矩阵 ± 实数（广播）

A+1=⎡⎣⎢⎢246357⎤⎦⎥⎥

6. 求逆矩阵: A = [3 4; 2 16]; pinv(A) 或 A−1 (命令行输入为A^-1)：

[0.400000−0.050000−0.1000000.075000]

7. 求转置: A = [3 4; 2 16]; A′ :

[34216]

8. 求矩阵的秩 A = [1 2; 3 4; 5 6];

size(A)：[32]

size(A,1)：3

size(A,2)：2

9. 求矩阵元素的和： A = [1 2; 3 4; 5 6];

sum(A):[32]

sum(A,1):[32]

sum(A,2):⎡⎣⎢⎢3711⎤⎦⎥⎥

sum(sum(A)):21

10. 求向量的长度 V = [1 2 3 4];

length(V):4

11. 求最大或最小元素 A = [1 2; 3 4; 5 6]; max 、 min 用法同 sum函数
12. 查找符合条件的元素find函数，更多用法参考 help load：

A=⎡⎣⎢⎢834159672⎤⎦⎥⎥

find(A<=4)输出满足条件的序号:⎡⎣⎢⎢249⎤⎦⎥⎥

[i,j]=find(A<=4)输出满足条件的行和列:

行：i=⎡⎣⎢⎢213⎤⎦⎥⎥ 列：j=⎡⎣⎢⎢123⎤⎦⎥⎥

2.6 画图相关

Octave 有非常简单的工具用来生成大量不同的图，帮助我们绘制数据，绘制学习算法，并改进学习算法。

1. 绘制2D 图，如正弦函数 y=sin(2πx) ：
   

   x=[0:0.01:1];y=sin(2∗pi∗x);plot(x,y);
   
   

2. 给图像增加标记: xlabel(‘time’)，ylabel(‘value’)，legend(‘sin’)，title(‘title’), plot(x, y, ‘r’)：

3. 在同一张图上绘制多条曲线，使用hold on函数：
   y1=sin(2∗pi∗x);
   y2=cos(2∗pi∗x);
   plot(x,y1,′r′);
   hold on;
   plot(x,y2,′b′);
   legend(′sin′,′cos′);
   

4. 保存图片: print -dpng ‘myplot.png’ 以png格式保存图片

5. 绘制多张图：figure(1); plot(x,y1);绘制第一张图； figure(2)； plot(x, y2);绘制第二张图

6. 将一张图画在不同区域中： subplot命令
   subplot(1,2,1);
   plot(x,y1,′r′);
   legend(′sin′);
   subplot(1,2,2);
   plot(x,y2,′b′);
   legend(′cos′);
   

7. 绘制直方图： hist(x)
   w=−6+sqrt(10)∗(randn(1,1000));
   hist(w);
   

8. 绘制3D图： surf(X, Y, Z)
   x=linspace(−2,2,25);在x轴上取25点
   y=linspace(−2,2,25);在y轴上取25点
   [xx,yy]=meshgrid(x,y);xx和yy都是21x21的矩阵
   zz=xx.∗exp(−xx.2−yy.2);计算函数值，zz也是21x21的矩阵
   surf(xx,yy,zz);画出立体曲面图
   

9. 绘制等高线图： contour(X, Y, Z)