IEEE浮点数表示

IEEE浮点标准：V=(-1)^s*M*2^E

1.符号(sign)s决定这个数是负数(s=1)还是正数,0(s=0)。
2.尾数(significand) M是一个二进制小数.
3.阶码(exponent)E对浮点数加权。
单精度，双精度的表示如下：
exp为阶码，frac为尾数

给定了位表示，根据exp的值，被编码的值可以分为三种情况：

规格化的表示一般的数，非规格化的表示靠近0的数或0，阶码都为1的，当尾数为0时表示无穷大(即溢出)，阶码都为1的，当尾数不为0时表示不存在的数，例如-1开根号之类的。
规格化的数阶码字段被解释为以偏置(biased)形式表示的有符号整数。其实就是一个无符号数e，在进行运算时将E=e-Bias,Bias为偏移量(2^(k-1)-1)。小数字段frac表示为0,小数点前的1默认存在不写,尾数M=1+frac。
非规格化的数，阶码全为0，阶码值为E=1-Bias，这是为了让数从非规格化的数到规格化的数(开始也为1-Bias)时能平滑转换。
无穷大，阶码全1，小数全0。s=0时，表示正无穷，s=1时，表示负无穷。也可表示溢出，两个数很大相乘时，或除以0时。
NaN,阶码全1，小数非0时。一些运算结果不是实数或无穷就返回NaN，也可表示未初始化的数据。

例子

很有趣的现象，将正浮点数的位级表达解释为无符号整数，它们是按升序排列的，负浮点数则为降序。

舍入
舍入包括四种：向上舍入，向下舍入，向0舍入，向偶数舍入。
1.向上舍入是指每次舍入都进位，如1.4->2，1.5->2,-1.4 -> -1;
2.向下舍入是指每次舍入都向下舍入，如1.4->1,1.5->1,-1.5->-2;
3.向0舍入是指正负数都向0方向舍入，如1.4->1,1.5->1,-1.5->-1;
4.向偶数舍入指向上或者向下舍入，尽量使结果的最低有效数字为偶数，也就是向最靠近的数舍入，如1.5->2,1.4->1,2.5->2,-1.5->-2。

向偶数舍入有一点比较难理解：
**数字最低位有效位为偶数时就不用考虑低位进位了吗？
其实不然，如1.2453000精确到百分位，用向偶数舍入得到1.25。也就是说当某个数不是可能精确值的中间值时，优先考虑低位进位情况，在这个例子中1.24、1.25为可能的精确值，1.2453000显然不是这两个数的中间值，所以优先考虑后面的进位情况。当这个数为中间值时，优先考虑最低位有效位是否为偶数，是则舍去后面的，如1.245000->1.24，不是则考虑低位进位，如1.235000->1.24。

向偶数舍入也被用于浮点数中，二进制的0为偶数，1为奇数。道理和上面一致。非中间值，考虑低位进位，如10.00110->10.01(保留2位小数)，中间值，考虑最低位有效位，如10.10100->10.10(保留2位小数)

浮点运算

浮点加法
IEEE规定，1/-0将产生负无穷大，1/+0将产生正无穷大。
实数的加法也形成了阿贝尔群，但我们必须考虑舍入对这些属性的影响。x + y= y+x,这个运算是可交换的，但不可结合的。如，(3.14+1e10)求值为0.0——因为舍入，值3.14丢失了。而3.14+(1e10-1e10)为3.14。
作为阿贝尔群，大多数浮点数都是有逆元的，但无穷和NaN是除外的，正无穷+负无穷=NaN，NaN+x=NaN。
此外，浮点加法满足单调性属性：如果a>=b,那么对于任意a，b以及x，除了NaN(个人感觉无穷也应该除外)，都有x+a>=x+b。无符号或补码加法不具有该属性。

浮点乘法
浮点乘法遵循通常乘法的所具有的许多特性。浮点乘法是封闭的（即使可能产生无穷大和NaN），它也是可交换的，并且它的乘法单位元为1.0。不具备可结合性，如在单精度浮点下，(1e20*1e20)le-20为正无穷大，而1e20(1e20*1e-20)为1e20。此外，浮点乘法在加法上不具备分配性，如在单精度浮点数下，1e20*(1e20-1e20)为0.0，而1e20*1e20-1e20*1e20为NaN。
此外，对于任何a,b和c,并且a，b，c都不等于NaN，浮点乘法满足下列单调性：
只要a不等于NaN，就有a*a>=0。
无符号或补码的乘法没有这些单调性。