最长的含有相同数目的01子串 & 括号匹配问题

题目：给定一个字符串，字符串中只包含‘0’和‘1’。请找到一个最长的子串，使得其中0和1的数量是相同的

例1：“10101010” 结果就是其本身

例2：“0011110”结果是“0011”

扩展：给定一个字符串，字符串只包含‘（’和‘）’，请找出一个最长的子串，使得该子串满足括号匹配法则。

例1：“(()())()()”结果为自身

例2：“())()()(”结果为“()()"

错误的解法：（没考虑仔细）

解：扩展后题目要求更严格一点，但解题思路是一样的：

用栈保存字符，扫描字符串，如果

1）当前字符与栈顶匹配（‘0’和‘1’相互匹配，‘)’与‘(’匹配），删除栈顶，计算长度，遍历下一个字符。

2）当前字符与栈顶不匹配，当前字符入栈，遍历下一个字符。

代码1：与讲解稍有不同，栈内存的是下标不是字符，这样方便计算长度。

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：最坏为O(n)

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

void longestSubsequence(const string &str, int &s, int &t){
	stack q;
	int maxLen = 0;
	for(int i = 0; i

PS：此代码与”柱状图中找最大矩形 &  矩阵中找最大的仅含相同值的矩形区域”的代码有点相似。

此解法总是尽量向左匹配，错误！例子：0011110000100 结果不正确。

============================割=========================================

正确的解法：

解法I：直观的动态规划解法：

f[i] = f[j] + (i - j), 其中j为max{ j | j < i,并且 串"i+1, i+2,...,j"为合法串（0、1个数相等，或者 满足括弧法则）}

若找不到满足条件的j，则f[i] = 0;

最后的结果为 max{ f[i] }。

此算法时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度O(n)，同时适用原问题和扩展问题。

解法II：对解法I进行优化：

由于解法I需要遍历找j，所以时间复杂度比较高。

实际上，可以根据01串的特点，在O(1)的时间确定出j。

扫描字符串，将扫描到的0的个数与1的个数的差，记录在A数组中，则A[i]值在区间[-n, n]，n为总的字符个数。

状态转移方程可改写为：

f[i] = f[j] + (i - j), 其中j为max{ j |  j < i，并且 A[j] == A[i] }。

如果在算f的时候，同时记录数组B，B[k]表示差值为k的最后出现的位置，注意此处k理论上可以为负值，那么状态转移方程可以改写为：

f[i] = f[j] + (i - j), 其中j=B[A[i]]。

此算法，时间复杂度O(n)，空间复杂度3 * O(n)。 仅适用于原问题。

解法III：对解法II进行 简化：

仔细观察会发现，f[i]的值等于：差值A[i]最早出现的位置，与i的距离。所以可以对解法II进行简化，见代码2

此算法，时间复杂度与解法II一样，同为O(n)，空间复杂度同为O(n）,但系数变小了2 * O(n)。 仅适用于原问题。

代码2：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

void longestSubsequence(const string &str, int &s, int &t){
	int strLen = str.size();
	vector v(strLen * 2 + 1, -1);
	int maxLen = 0;
	int diff = 0;
	for(int i = 0; i