背包（矩阵算法）详解

   最近两天整背包算法整的懵逼了，为什么懵逼？首先对着这个公式看了好久，如下：

                     f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 或   f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

是不是觉得很懵逼？没错，看起来好像理解了，但是又不是很明白，直到我看到了如下的东西

   

体积	1	2	3	4	5	6
物品1	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值
物品2	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值
物品3	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值
物品4	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值

然后问题就转化为了在矩阵里面填入满足条件的价值；即当前物品种类和当前重量下的最大价值；比如我们来看坐标（物品1，3）就代表，当存在物品1时，背包容量为3的情况下，价值最大是多少？

（物品2，3）就代表，当存在物品1，物品2是，背包容量为3的情况下，价值最大是多少？以此类推：

（物品4，6）代表存在物品1，2，3，4，背包容量为6的情况下，价值最大是多少；

理解了矩阵的含义，我们再来看公式，说白了就是根据矩阵前面的情况来决定矩阵当前格子内填的数目：

比如F [i][v],举个栗子，i=物品2，v=5时就是F[物品2][5]，我们就在表格上找到这一格，当到了处理这一格时，就已经说明物品1那一行和物品2那一行的前4个格子都已经填上了数字，代表了当前物品种类下和背包容量下的最大价值；

接下来就是要决定F[物品2][5]这一格里面填什么了；

F[i-1][V]：我们填入实例就是F[物品1][5]的价值：背包为5的情况下，还没有放入物品2的最大价值是多少？就是F[物品1][5]；

F[i-1][v-c[i]]+w[i]:首先这个位置有一个值得注意的点，变为F[i][V-c[i]]+w[i];那么则由一个物品变为了一类物品，C[i]，我们这里理解为物品2的重量，W[i]我们理解为物品2的价值；因为这个时候我们要的应该是同时存在物品1情况下容量为（5-物品2体积）的价值，即F[物品1][5-物品2体积]这一格空格的值；

F[i][v-c[i]]+w[i]:即F[物品2][5-物品2体积]+物品2价值；F[物品1][5-物品2体积]代表了存在物品1和物品2情况下，体积为5-物品2体积情况下的最大价值；

那么MAX{ f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}就是比较{F[物品1][5]，F[i-1][v-c[i]]+w[i]:即F[物品2][5-物品2体积]+物品2价值}谁的价值更大，那么 F[物品1][5]就填入哪个值代表重量为5的情况下，存在物品1和物品2情况下的价值最大值；

直到一直这样把这个矩阵填写完，那么矩阵的最后一行最后一列就是 有最多种类的物品和最大的背包容量下的最大价值是多少；附上算法源码：

Pakage **p：代表背包的二维数组，即矩阵本体；

ItemPakage* ItemEnum  代表物品种类的矩阵，即纵坐标

int volt：代表背包的体积容量，即横坐标的最大值

int MaxValue(Pakage **p,ItemPakage* ItemEnum,int nTypeNum,int nvolt)
{
    for (int i=0; i<=nTypeNum; i++)
    {
        p[i][0].nItem=0;
        p[i][0].sumvolt=0;
    }
    for (int j=0; j<=nvolt; j++)
    {
        p[0][j].nItem=0;
        p[0][j].sumvalue=0;
    }
   
    for (int i=1; i<=nTypeNum; i++)
    {
      
          for (int j=1;j<=nvolt;j++)
          {
            if (j>=ItemEnum[i-1].Volt)
            {
                if (p[i-1][j-ItemEnum[i-1].Volt].sumvalue+ItemEnum[i-1].Value>p[i-1][j].sumvalue)
                {
                    p[i][j]=p[i-1][j-ItemEnum[i-1].Volt];
                    p[i][j].sumvalue+=ItemEnum[i-1].Value;
                    p[i][j].nItem=p[i][j].nItem+1;
                    p[i][j].ArrItem[p[i][j].nItem-1]=ItemEnum[i-1];
                }
               
                else
                {
                    p[i][j]=p[i-1][j];
                }
            }
            else
                p[i][j]=p[i][j-1];
          }
        }
   
    return p[nTypeNum][nvolt].sumvalue ;

}

最后就是需要注意边界条件了；因为二维矩阵的纵坐标是物品个数，横坐标为物品体积，都是从1开始的，但是矩阵本身初始记录位置是从0开始的，为了避免编程过程中思维的多次转换以及单独的边界条件处理（0的情况）建议简单化；4个物品体积为8的问题，不是开（4x8）32个格子的矩阵而是要开（5X9）45个格子的矩阵，涉及到0的位置全部填0；

接下来就是愉快的编写算法了！