四元数讲解

拷贝博客：http://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/的部分内容，然后又参考《3D数据基础：图形与游戏开发》修改构成本文。——题记

内容结构

介绍
复数
复数的加减
复数的系数缩放
复数的积
复数的平方
共轭复数
复数的绝对值
两复数的商
i的幂
复数平面
旋转数（Rotors)
四元数
作为有序数的四元数
四元数的加减
四元数的积
实四元数
四元数的系数缩放
纯四元数
四元数的加法形式
单位四元数
四元数的二元形式
共轭四元数
四元数范数
四元数规范化
四元数的逆
四元数的乘积（叉乘）
四元数的“差”
四元数的点乘
旋转
四元数的插值
SLERP
四元数的差
四元数的指数运算
2个四元数的分数差
注意事项
SQUARD
结论

在计算机图形学中，我们使用转换矩阵来表示空间中的一个位置以及朝向。一个转换矩阵还可以表示对一个目标的缩放(scale)或错切(shear)等。 我们可以把转换矩阵想象成一个空间，当你用这个矩阵乘以向量、点（甚至矩阵）后， 你就把向量、点、矩阵转换进这个空间了。

在这篇文章中，我不会讨论转换矩阵的细节。你可以查看我前面的文章，文章中描述了转换矩阵的细节。

在这篇文章中，我想要讨论一个可替代的方案，即用四元数来描述空间里的物体的朝向。

四元数的概念是由爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton发明的（1843年，都柏林）。Hamilton当时正和他的妻子前往爱尔兰皇家研究院，当他从Brougham桥通过皇家运河时，他领悟到了一个激动人心的东西，并立刻把它刻在桥的一个石头上：

i^2=j^2=k^2=ijk=−1

William Rowan Hamilton Plaque on Broome Bridge on the Royal Canal commemorating his discovery of the fundamental formula for quaternion multiplication.

复数

在我们能够完全理解四元数之前，我们必须先知道四元数是怎么来的。四元数的根源其实是复数。

除了知名的数集（自然数、整数、实数、分数）之外，复数系统引入了一个新的数集——虚数。虚数的发明是为了解决一些特定的无解的方程，例如：

x2+1=0
要解决这个等式，必须让x^2=−1，这当然是不行的，因为任意实数的平方都是非负数。

一般而言，数学家是不能忍受一个等式是无解的。于是，一个新的术语被发明了，它就是虚数，一个可以解决上面这个等式的数。

虚数有这样的形式：

i^2=−1
不要为这个术语较真，因为逻辑上这个数是不存在的。只要知道i是一个平方等于-1的东西即可。

虚数的集合可以用I来表示。

复数的集合C是一个实数和一个虚数的和，形式如下：

z=a+bi a,b∈R, i2=−1
可以认为所有实数都是b=0的复数、所有虚数都是a=0的复数。

复数的加减

加法：

(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i
减法：

(a1+b1i)−(a2+b2i)=(a1−a2)+(b1−b2)i
复数的系数缩放

λ(a1+b1i)=λa1+λb1i
复数的积

z1=(a1+b1i)

z2=(a2+b2i)

z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2

z1z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)i
复数的平方

z=(a+bi)

z2=(a+bi)(a+bi)

z2=(a2−b2)+2abi
共轭复数

复数的共轭就是指把复数的虚数部分变成负的。共轭复数的符号是z¯或z∗。

z=(a+bi)

z∗=(a−bi)
复数和它的共轭复数的乘积是：

zz∗=(a+bi)(a−bi)=a^2−abi+abi+b^2=a^2+b^2
复数的绝对值

我们使用共轭复数来计算复数的绝对值：

z=(a+bi)

|z|=zz∗=(a+bi)(a−bi)=a^2+b^2
两复数的商

z1=(a1+b1i)

z2=(a2+b2i)

z1z2=a1+b1ia2+b2i=(a1+b1i)(a2−b2i)(a2+b2i)(a2−b2i)

=a1a2−a1b2i+b1a2i−b1b2i2a22+b22

=a1a2+b1b2a22+b22+b1a2−a1b2a22+b22i
i的幂

如果i的平方等于-1，那么i的n次幂也应该存在：

i^0=1

i^1=i

i^2=−1

i^3=ii2=−i

i^4=i^2i^2=1

i^5=ii^4=i

i^6=ii^5=i^2=−1
如果按照这个顺序写下去，会出现这样一个模式： (1,i,-1,-i,1,…)

一个类似的模式也出现在递增的负数幂：

i^0=1

i^(−1)=−i

i^(−2)=−1

i^(−3)=i

i^(−4)=1

i^(−5)=−i

i^(−6)=−1
你可能已经在数学里头见过类似的模式，但是是以（x,y,-x,-y,x,…)的形式，这是在2D笛卡尔平面对一个点逆时针旋转90度时生成的；（x,-y,-x,y,x,…)则是在2D笛卡尔平面对一个点顺时针旋转90度时生成的。

复数平面

我们也能够把复数映射到一个2D网格平面——复数平面，只需要把实数映射到横轴、虚数映射到纵轴。

如前面的序列所示，我们可以认为，对一个复数乘以i，这个复数就在复数平面上旋转了90度。

让我们看看这是不是真的。我们随机地在复数平面上取一个点：

p=2+i
p乘以i后得到q：

q=pi=(2+i)i=2i+i^2=−1+2i
q乘以i后得到r：

r=qi=(−1+2i)i=−i+2(i^2)=−2−i
r乘以i后得到s：

s=ri=(−2−i)i=−2i−i^2=1−2i
s乘以i后得到t：

t=si=(1−2i)i=i−2(i^2)=2+i
t刚好是开始的p。如果我们把这些复数放到复数平面上，就得到下面的图：

我们也可以按顺时针方向旋转，只需要把上面的乘数i改成-i。

旋转数（Rotors)

我们也可以在复数平面上进行任意角度的旋转，只需要定义下面这个复数：

q=cosθ+isinθ
任意的复数乘以q：

p=a+bi

q=cosθ+isinθ

pq=(a+bi)(cosθ+isinθ)

a′+b′i=acosθ−bsinθ+(asinθ+bcosθ)i
也可以写成矩阵的形式：

[a′−b′b′a′]=[cosθ−sinθ sinθcosθ][a−b ba]
这也是一个在复数平面绕原点逆时针旋转任意点的方法。（译注：这句话应该是在说旋转矩阵）

四元数

了解了复数系统和复数平面后，我们可以额外增加2个虚数到我们的复数系统，从而把这些概念拓展到3维空间。

四元数的一般形式：

q=s+xi+yj+zk s,x,y,z∈R
上面的公式是根据Hamilton的著名的表达式得到的：

i^2=j^2=k^2=ijk=−1
以及：

ij=k jk=i ki=j

ji=−k kj=−i ik=−j
你可能已经注意到了，i、j、k之间的关系非常像笛卡尔坐标系下单位向量的叉积规则：

x×y=z y×z=x z×x=y

y×x=−z z×y=−x x×z=−y
Hamilton自己也发现i、j、k虚数可以被用来表达3个笛卡尔坐标系单位向量i、j、k，并且仍然保持有虚数的性质，也即i^2=j^2=k^2=−1。

（ij, jk, ki这几个性质的可视化）

上图展示了如何用i、j、k作为笛卡尔坐标系的单位向量。

作为有序数的四元数

我们可以用有序对的形式，来表示四元数：

[s,v] s∈R,v∈R3
其中的v，也可以用它各自独立的3个分量表示：

q=[s,xi+yj+zk] s,x,y,z∈R
使用这种表示法，我们可以更容易地展示四元数和复数之间的相似性。

四元数的加减

和复数类似，四元数也可以被加减：

qa=[sa,a]

qb=[sb,b]

qa+qb=[sa+sb,a+b]

qa−qb=[sa−sb,a−b]
四元数的积

我们也可以表示四元数的乘积：

qa*qb=[sa,a]*[sb,b]

=(sa+xai+yaj+zak)(sb+xbi+ybj+zbk)

=(sasb−xaxb−yayb−zazb)

+(saxb+sbxa+yazb−ybza)i

+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j

+(sazb+sbza+xayb−xbya)k
可以看到，四元数的乘积依然还是一个四元数。如果我们把虚数i、j、k替换成有序对：

i=[0,i] j=[0,j] k=[0,k]
以及还有[1,0] = 1，将它们代入前面的表达式，就得到了：

qa*qb=(sasb−xaxb−yayb−zazb)[1,0]

+(saxb+sbxa+yazb−ybza)[0,i]

+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)[0,j]

+(sazb+sbza+xayb−xbya)[0,k]
再把这个表达式扩展成多个有序对的和：

qa*qb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),0]

+[0,(saxb+sbxa+yazb−ybza)i]

+[0,(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j]

+[0,(sazb+sbza+xayb−xbya)k]
如果把后3个四元数相加，并提取公共部分，就可以把等式改写成：

qa*qb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),0]

+[0,sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)

+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k]
这个等式是2个有序对的和。第1个有序对是一个实四元数，第2个是一个纯四元数。这两个四元数也可以合并成一个：

qa*qb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),

sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)

+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k]
如果把下面的表达式代入上面的等式：

a=xai+yaj+zak

b=xbi+ybj+zbk

a⋅b=xaxbi2+yaybj2+zazbk2

a×b=(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k
（译注：注意，第三条和第四条并不是四元数的点积和叉积，而是向量的点积和叉积）

我们就得到了：

qa*qb=[sasb−a⋅b,sab+sba+a×b]
这就是四元数乘积的一般式。

实四元数

一个实四元数是一个虚部向量为零向量的四元数：

q=[s,0]
两个实四元数的乘积是另一个实四元数：

qa=[sa,0]

qb=[sb,0]

qaqb=[sa,0][sb,0]=[sasb,0]
这和2个虚部为0的复数的乘积几乎一样：

z1=a1+0i

z2=a2+0i

z1z2=(a1+0i)(a2+0i)=a1a2
四元数的系数缩放

我们也可以用一个系数（实数）去乘四元数：

q=[s,v]

λq=λ[s,v]=[λs,λv]
我们可以用实四元数与普通四元数的乘积，来确认这个等式是否正确：

q=[s,v]

λ=[λ,0]

λq=[λ,0][s,v]=[λs,λv]
纯四元数

和实四元数相似，Hamilton也定义了纯四元数。纯四元数是s=0的四元数：

q=[0,v]
也可以写成下面的形式：

q=xi+yk+zk
然后是2个纯四元数的乘积：

qa=[0,a]

qb=[0,b]

qaqb=[0,a][0,b]=[−a⋅b,a×b]
四元数的加法形式

我们可以把四元数写成实四元数和纯四元数的和：

q=[s,v]

=[s,0]+[0,v]
单位四元数

给定任意的向量v，我们可以把这个向量写成一个系数和一个单位方向向量的乘积：

v=vv^ v=|v|,|v^|=1
将这个定义和纯四元数的定义结合，就得到了：

q=[0,v]

=[0,vv^]

=v[0,v^]
然后，我们可以定义单位四元数了，它是一个s=0、v为单位向量的四元数：

q^=[0,v^]
四元数的二元形式

我们现在可以把单位四元数的定义和四元数的加法形式结合到一起，就创造了一种新的四元数的表示法，这种表示法和复数的表示法形似：

q=[s,v]

=[s,0]+[0,v]

=[s,0]+v[0,v^]

=s+vq^
这就给了我们一种和复数非常相似的四元数表示法：

z=a+bi

q=s+vq^
共轭四元数

共轭四元数的计算，就是将四元数的虚向量取反：

q=[s,v]

q∗=[s,−v]

q表示绕轴旋转a,q*表示绕相反的轴旋转相同的度

四元数和它的共轭四元数的乘积：

qq∗=[s,v][s,−v]

=[s^2−v⋅(−v),−sv+sv+v×(−v)]

=[s^2+v⋅v,0]

=[s^2+v^2,0]
四元数范数

回忆下复数范数的定义：

|z|=a^2+b^2

zz∗=|z|^2
类似的，四元数的范数可以这样定义：

q=[s,v]

|q|=s^2+v^2
这也让我们可以这样表达四元数范数：

qq∗=|q|^2
四元数规范化

利用四元数范数的定义，就可以对四元数进行规范化。要让一个四元数规范化，只需要让这个四元数去除以它的范数：

q′=q/(s^2+v^2)
举一个例子，让我们规范化下面这个四元数：

q=[1,4i+4j−4k]
第一步，先计算q的模：

|q|=sqrt(1^2+4^2+4^2+(−4)^2)

=sqrt(49)=7
然后，q除以|q|:

q′=q/|q|

=(1+4i+4j−4k)7

=1/7+(4/7)i+(4/7)j−(4/7)k
四元数的逆

四元数的逆用q^(−1)表示。要计算四元数的逆，需要用四元数的共轭四元数去除以四元数的模：

q* = [w v]* = [w -v] = [w, (-x,-y,-z)]
q^(−1)=q* / (|q|)

一个四元数 q 乘以 它的逆 q^(-1) 得到单位四元数 [1, 0]
单位四元数的逆和共轭相等。
为了证明这个式子，我们先根据逆的定义，有：

qq−1=[1,0]=1
两边都左乘共轭四元数 q∗ :

q∗qq−1=q∗
将上文中的qq∗=|q|2代入这个式子，得到：

|q|^2 q^(−1)=q∗

对于单位四元数，它的范数是1，所以可以写成：

q ^(−1)=q∗

四元数的乘法（叉乘）
[w1,v1] [w2 v2] = [w1w2-v1v2 w1v2+w2v1+v2v1]
叉乘满足结合律，不满足交换律
四元数乘积的模等于模的乘积
四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘
（ab）^(-1) = b^(-1)a^(-1)

先进行a旋转再进行b旋转等价于执行乘积ba代表的单一旋转因此四元数能用来连接多次旋转，这个矩阵乘法的效果一样，根据四元数乘法的定义这个旋转是以从右向左的顺序发生的

四元数“差”
利用四元数的乘法和逆就能计算出四元数的差，差被定义为从一个方位到另一个方位的角位移。
给定方位a和b，能够计算从a旋转到b的角位移d。用四元数表示为ad=b(表示顺序）
a^(-1)ad = a^(-1)b
d = a^(-1)b

四元数的点积

和向量的点积相似，我们也可以计算2个四元数的点积，只需要将各个对应的系数相乘，然后相加:

q1=[s1,x1i+y1j+z1k]

q2=[s2,x2i+y2j+z2k]

q1⋅q2=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2
我们也可以利用四元数点积，来计算四元数之间的角度差：

cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|
对于单位四元数，我们可以简化上面的等式：

cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2

旋转

前面我们定义了一个特殊的复数：旋转数。它是用来旋转2D复数平面的点的：

q=cosθ+isinθ
根据四元数和复数的相似性，应该有可能设计一个可以旋转3D空间的点的四元数：

q=[cosθ,sinθv]
让我们测试一下这个理论是否可靠，方法就是计算四元数q和向量p的积。第一步，我们把p写成纯四元数的形式：

p=[0,p]
以及单位四元数q：

q=[s,λv^]
从而：

p′=qp=[s,λv^][0,p]

=[−λv^⋅p,sp+λv^×p]
我们可以看到结果是一个同时有系数、有虚向量的四元数。

让我们先考虑特殊的情形：p与v^正交。这种情况下，点乘部分等于0：−λv^⋅p=0。所以上面的四元数就变成了纯四元数：

p′=[0,sp+λv^×p]
这时候，要使p绕v^旋转，我们只需要代入s=cosθ和λ=sinθ：

p′=[0,cosθp+sinθv^×p]
现在，让我们找一个例子来测试上面的公式。譬如绕z轴(就是k轴)旋转45度，那么我们的四元数q就变成：

q=[cosθ,sinθk]

=[sqrt(2)/2,sqrt(2)/2k]
然后，选一个特殊的p，并且p要和k轴正交，譬如把p放到i轴上，也就是：

p=[0,2i]
好了，现在计算下qp：

p′=qp

=[sqrt(2)/2,sqrt(2)/2k][0,2i]

=[0,sqrt(2)/2*2i+sqrt(2)/2*k×2i]

=[0,sqrt(2)i+sqrt(2)j]
结果是一个绕了k轴转了45度的纯四元数。 我们可以确认这个四元数的向量部分的长度是：

p′=sqrt((sqrt(2))^2+(sqrt(2))^2)=2
这正是我们所期望的！

我们可以用图像展示旋转过程：

现在，让我们考虑更一般化的四元数，即和p不正交的四元数。现在让我们把p的向量部分偏移45度：

v^=22i+22k

p=2i

q=[cosθ,sinθv^]

p=[0,p]
然后算qp：

p′=qp

=[cosθ,sinθv^][0,p]

[−sinθv^⋅p,cosθp+sinθv^×p]
代入我们设定的v^,p，以及θ=45∘，得到：

p′=[−22(22i+22k)⋅(2i),222i+22(22i+22k)×2i]

=[−1,2i+j]
注意，算出来的结果已经不是纯四元数了，并且，它并没有旋转45度、范数也不再是2(反而变小了，变成3)

我们可以用图像展示旋转过程：

严格来说，这样子在3维空间中表示p′是不正确的。因为它其实是一个4维的向量！为了简单起见，我只将这个四元数的向量部分显示出来。

然而，还有一线生机。Hamilton发现（但没有正式宣布），如果对qp右乘q的逆，出来的结果是一个纯四元数，并且四元数向量部分的范数可以保持不变。让我们试试应用在我们的例子里。

首先计算:

q=[cosθ,sinθ(22i+22k)]

q−1=[cosθ,−sinθ(22i+22k)]
(译注：这里q−1=q∗是因为q是单位四元数)

再代入θ=45∘，得到：

q−1=[22,−22(22i+22k)]

12[2,−i−k]
现在，把前面算出来的qp再次拿出来：

qp=[−1,2i+j]

qpq−1=[−1,2i+j]12[2,−i−k]

=12[−2−(2i+j)⋅(−i−k),i+k+2(2i+j)−i+2j+k]

=12[−2+2,i+k+2i+2j−i+2j+k]

=[0,i+2j+k]
这下是纯四元数了，并且它的范数是：

|qpq−1|=12+22+12=4=2
这和原始的p的范数一致。

下面的图像展示了旋转结果：

所以我们可以看到，这个结果是一个纯四元数，并且原四元数的向量的范数也保持住了。但是还有一个问题：向量被旋转了90度而不是45度。这刚好是我们需要的度数的两倍！为了正确地让一个向量绕某个轴向量旋转某个角度，我们必须以目标角度的一半来计算。因此，我们构造了下面的四元数：

q=[cos12θ,sin12θv^]
这就是旋转四元数的一般形式！

四元数插值

在计算机图形学中使用四元数，其中一个重要原因是四元数非常适合用来表示空间中的旋转。四元数解决了其他3维空间旋转算法会遇到的恼人的问题，比如使用欧拉角来表示旋转操作时会遇到的万向节锁问题(Gimbal lock)。

使用四元数，我们可以定义好几种方案来表示3维空间的转动插值。第一种是SLERP，它被用来把一个点(物体)从一个朝向平滑地插值到另一个朝向。第二个是SLERP的扩展版本，被称为SQAD，它被用来处理用一系列朝向定义得到的一条路径的插值。

SLERP

SLERP代表Spherical Linear Int*erp*olation。SLERP可以在2个朝向之间平滑地插值。

第一个朝向设为q1，第二个朝向设为q2。被插值前的点设为p，插值后的点设为p′。而插值参数t，当t=0时会把p转到q1，当t=1时会转到q2。

标准的线性插值公式是(译注：这个公式是笛卡尔坐标系下的，不是指四元数)：

p′=p1+t(p2−p1)
应用这个等式的一般步骤是：

计算、p1、p2之间的差。
根据参数t，计算两个点的差的小数值(因为0<=t<=1)
把第二步的值加上原始点的值，算出结果
我们可以把这个基础公式，套用到2个用四元数表示的朝向的插值上。

四元数的差

根据上面的公式的第一步，我们必须先计算、q1、q2的差。对于四元数来说，这等价于计算2个四元数的角度差：

diff=q1−1q2
（译注：这个公式用到了上述的四元数点积公式）

四元数的指数

接下来是计算上面的角度差的分数值，方法是计算四元数的t次幂(就是上面的那个插值参数t)。

四元数的指数的一般化公式是：

qt=exp(tlog⁡q)
其中，(纯)四元数的exp函数的公式是：

eq=exp(q)=exp([0,θv^])

=[cosθ,sinθv^]
(纯)四元数的对数公式是：

log⁡q=log⁡(cosθ+sinθv^)

=log⁡(exp(θv^))

=θv^

=[0,θv^]
(译注：上述的2次公式推导，其实省略了很多证明过程。具体可以参考：http://bpeers.com/blog/?itemid=861,http://bpeers.com/blog/?itemid=863,http://bpeers.com/blog/?itemid=866, http://bpeers.com/blog/?itemid=1001 )

对于t = 0，我们有：

q0=exp(0log⁡q)

=exp([cos(0),sin(0)v^])

=exp([1,0])

=[1,0]
而对于t = 1，有：

q1=exp(1log⁡q)=q
2个四元数的分数差

对于角旋转的插值计算，我们利用q1和q2的角度分数差来调整原始朝向q1：

q′=q1(q1^(−1)q2)t
这也就是使用四元数的球面线性插值的一般形式。然而，这不是slerp函数的常用形式。

我们可以应用类似的用于计算向量的球面插值公式，到四元数里。计算向量的球面插值的一般形式定义如下：

vt=sin((1−t)θ) v1/sinθ +sin(tθ)v2/sinθ
用图像表示如下：

这个公式可以原封不动地应用到四元数：

qt=sin((1−t)θ) q1/sinθ+sin(tθ)q2/sinθ
但这个公式需要提供角度θ，我们可以计算q1和q2的点积从而得出角度θ：

cosθ=q1⋅q2|q1||q2|

cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|

θ=cos−1(s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|)
注意事项

这个方案有2个问题，必须在实现过程中加以考虑。

第一，如果四元数点积的结果是负值，那么后面的插值就会在4D球面上绕远路，这并不是我们想要的。为了解决这个问题，我们测试点积的结果，当结果是负值时，我们将2个四元数的其中一个取反，取反它的系数和向量部分，并不会改变它代表的朝向。而经过这一步操作，可以保证这个旋转走的是最短路径。

当q1和q2的角度差非常小，小到导致sinθ=0时，会出现第二个问题。如果这个情况出现了，当我们除以sinθ时就会得到一个未定义的结果。在这个情况下，我们可以回退去使用q1和q2的线性插值。

SQUAD

正如一个SLERP可以被用来计算四元数之间的插值，一个SQUAD (Spherical and Quadrangle)可以被用来对旋转路径进行平滑插值。

如果我们有四元数序列：

q1,q2,q3,⋯,qn−2,qn−1,qn
然后我们再定义一个”辅助”四元数(si)，它是一个中间控制点：

si=exp(−log⁡(qi+1qi−1)+log⁡(qi−1qi−1)4)qi
所以，沿着子曲线的朝向可以定义为：

qi−1,qi,qi+1,qi+2
在t时刻的朝向就是：

squad(qi,qi+1,si,si+1,t)=slerp(slerp(qi,q(i+1),t),slerp(si,s(i+1),t),2t(1−t))
总结

除了特别难理解之外，相比矩阵或欧拉角，四元数在表示旋转这个事情上，拥有一些明显的优点。

SLERP和SQUAD，提供了一种使得在朝向之间可以平滑过渡的方法。

使用四元数来串联”旋转”，要比使用矩阵快得多。

对于单位四元数，逆向旋转可以通过对向量部分取反来实现。而计算一个矩阵的逆矩阵是被认为比较慢的，如果这个矩阵未被标准正交化的话(标准正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵)。

从四元数转换到矩阵，要比从欧拉角转换到矩阵快一点。

四元数只需要4个数字(如果旋转四元数已经单位化了那么只需要3个，实数部分可以在运行时计算)来表示一个旋转，而矩阵需要至少9个数字。

尽管使用四元数有这么多优点，还是有缺点存在的。

因为浮点数的舍入运算错误，四元数可能会变无效。不过，这个错误可以通过重新单位化四元数来避免。

使用四元数最具威慑性的地方，还是四元数的理解难度大。我希望这个问题可以通过阅读本文来解决。