矩阵分解在推荐系统的应用以及python代码的实现

矩阵分解在打分预估系统中得到了成熟的发展和应用，为了方便以后复习，先总结如下。

打分矩阵R(n,m)是n行和m列，n表示user个数，m行表示item个数，例如R(5,6)

   item1item2 item3item4item5item6

user1 5443 50

user2 04 5 031

user354 0 130

user404 531 5

user510 3 505

其中，为了表示方便0表示没有打分，根据目前的矩阵R（5,6）如何得到分值为0的用户的打分值？

矩阵分解的思想可以解决这个问题，其实这种思想可以看作是有监督的机器学习问题

具体的：

R（n,m）~=P(n,K)*Q(K,m)

其中 ~=表示约等于(由于编辑器使用的不熟悉)，矩阵P(n,K)表示n个user和K个特征之间的关系矩阵，这K个特征是一个中间变量，矩阵Q(K,m)的转置是矩阵Q(m,K)，矩阵Q(m,K)表示m个item和K个特征之间的关系矩阵,这里的K值是自己控制的，可以使用交叉验证的方法获得最佳的K值。为了得到近似的R(n,m),必须求出矩阵P和Q，怎么求它们呢？

令

如果R(i,j)已知，则R(i,j)的误差平方和为

为了防止过拟合，增加正则化项:

使用梯度下降法获得修正的p和q分量：

 纠错：中间等式前面的alph前面应该是负号，代表负梯度方向

 纠错：中间等式前面的alph前面应该是负号，代表负梯度方向

不停的迭代直到sum(e^2) <=阈值，

K=2 得到结果是

 item1       item2   item4       item5item6      item7

user1 [[ 5.25600533  4.30482789  4.76151949  2.04197028  3.77745497  1.59709987]
user2 [ 4.92136216  3.986272    4.40232802  1.81776335  3.57447488  1.37667655]
user3  [ 4.70259529  3.66136084  4.02053168  1.42409487  3.54021725  0.92110655]
user4  [ 3.24257645  3.95178917  4.57037303  4.00482228  1.23685399  4.44552925]

user5  [ 0.94314043  2.66249238  3.23566396  4.36964834 -0.91695287  5.33276304]]

K=3 得到结果是

  item1       item2   item4       item5item6      item7

user1 [[ 5.35081468  4.21628989  3.92966236  2.8616707   4.42764467  3.67424467]
user2 [ 3.65150782  4.00536042  4.98203391 -0.24263616  2.84660098  1.11289902]
user3 [ 4.55129228  3.73496981  3.86823535  1.11434568  3.71657794  2.03034916]
user4 [ 1.57844524  3.97142414  5.03277248  3.35320963  1.08371548  4.62480722]
user5 [ 0.93799194  2.70958606  2.97752303  4.67356409  0.67601902  5.28834503]]

python 源代码如下：

import numpy
def matrix_factorization(R, P, Q, K, steps=5000, alpha=0.0002, beta=0.02):
    Q = Q.T
    for step in xrange(steps):
        for i in xrange(len(R)):
            for j in xrange(len(R[i])):
                if R[i][j] > 0:
                    eij = R[i][j] - numpy.dot(P[i,:],Q[:,j])
                    for k in xrange(K):
                        P[i][k] = P[i][k] + alpha * (2 * eij * Q[k][j] - beta * P[i][k])
                        Q[k][j] = Q[k][j] + alpha * (2 * eij * P[i][k] - beta * Q[k][j])
        eR = numpy.dot(P,Q)
        e = 0
        for i in xrange(len(R)):
            for j in xrange(len(R[i])):
                if R[i][j] > 0:
                    e = e + pow(R[i][j] - numpy.dot(P[i,:],Q[:,j]), 2)
                    for k in xrange(K):
                        e = e + (beta/2) * ( pow(P[i][k],2) + pow(Q[k][j],2) )
        if e < 0.001:
            break
    return P, Q.T

###############################################################################

if __name__ == "__main__":
    R = [
         [5,4,4,3,5,0],
         [0,4,5,0,3,1],
         [5,4,0,1,3,0],
         [0,4,5,3,1,5],
         [1,0,3,5,0,5],
        ]

    R = numpy.array(R)

    N = len(R)
    M = len(R[0])
    K = 2

    P = numpy.random.rand(N,K)
    Q = numpy.random.rand(M,K)

    nP, nQ = matrix_factorization(R, P, Q, K)
    print R
    T = numpy.dot(nP,nQ.T)
    print T

参考文章：http://www.quuxlabs.com/blog/2010/09/matrix-factorization-a-simple-tutorial-and-implementation-in-python/#source-code

adding biases

然而，上面仅仅考虑了q和p直接相互影响，而没有考虑user和item项目本身的属性，比如，总体的平均分是all_mean,

user是一位严厉的顾客，那么打分自然要低于打分的平均分，一个item比其他item更流行，其得分高于打分的

平均分，则：

r_exp(u,i) = u + b(i) + b(u) + q(i)p(u)

其中 u是所有打过分的打分item的打分的平均值，b(i）为item比平均值的偏差，b(u)表示个人打分习惯和

平均打分的偏差

优化目标函数是：

min ∑ (r(u,i) - all_mean - b(u) - b(i) - p(u)q(i))^2 + lamda*(||p(u)||^2 + ||q(i)||^2 + (b(u))^2 + (b(i))^2)

参考文章：matrix factorization techniques for recommender systems

该源代码在我的github,https://github.com/zhangqianjin/recommender-system/  ,欢迎大家交流学习