【图像处理】基于贝叶斯的Lucy-Richardson图像复原算法
背景
研究空间域滤波方法是图像处理领域的重要内容。相比频域滤波，空间域滤波直接在图像空间上进行操作，除了传统的滤波外，还能加入各种直观的空间域操作，可扩展性和可理解性都比较强。在图像复原领域，当噪声较为复杂时，频域滤波方法因为难以计算得到噪声的频域模型，不能合理地去除噪声干扰，空间域方法就容易多了，因此空间域滤波方法占有很重要的地位。
图像复原问题的重要步骤是建立合理的图像退化模型。假设退化图像，即观测图像为H，原图为W，点扩散函数（可以理解为模糊卷积核）为S，噪声为N，*为卷积符号，则退化模型为 H = W ∗ S + N H=W*S+N H=W∗S+N，所求为W。若假设图像误差满足高斯概率分布，那么可以用最小二乘思想来优化解决上述退化模型，模型为 a r g m i n 1 2 ( W ∗ S − H ) 2 argmin \frac{1}{2}(W*S-H)^2 argmin21(W∗S−H)2，现有方法比如维纳滤波、最小二乘空间域滤波都适用。不过如果要把退化模型推广到任意概率分布，就要寻找另外的更鲁棒的方法框架。
LR算法
Lucy-Richardson图像复原方法（LR方法或者RL方法）是一种基于贝叶斯思想的空间域上的图像复原方法。该算法从贝叶斯理论出发推导了图像迭代复原的基本框架。本文根据Richardson W H. 1972. 给出一个简单的例子。
我们知道光学图像中，由于成像时光线有散射等情况，导致图像中某个像素的像素值，由本身像素点的强度和邻近像素点的光线干扰组成。设原始图像第i个像素点为 W i W_i Wi，观测图像第k个像素点为 H k H_k Hk， W i W_i Wi对 H k H_k Hk的像素值贡献可以表示为 S i , k S_{i,k} Si,k。
如果把图像归一化，像素值当作概率值，那么整个图像辨成一个概率图， W i W_i Wi等价于 P ( W i ) P(W_i) P(Wi)， S i , k S_{i,k} Si,k等价于 P ( H k ∣ W i ) P(H_k|W_i) P(Hk∣Wi)，那么反过来已知观测图像，潜在的原始图像分布概率为 (1) P ( W i ∣ H k ) = P ( H k ∣ W i ) P ( W i ) ∑ j P ( H k ∣ W j ) P ( W j ) P(W_i|H_k)=\frac{P(H_k|W_i)P(W_i)}{\sum_j{P(H_k|W_j)P(W_j)}} \tag{1} P(Wi∣Hk)=∑jP(Hk∣Wj)P(Wj)P(Hk∣Wi)P(Wi)(1)，其中j代表点扩散函数S的作用范围； P ( H k ∣ W i ) P(H_k|W_i) P(Hk∣Wi) 表示点扩散函数，可写作 P ( S i , k ) P(S_{i,k}) P(Si,k)。注意这里，归一化图像等效为概率图，并不是说某个像素值出现的概率服从某个概率分布。实际上是用贝叶斯原理等效解决图像空间域的问题。
设原图为 P ( W i ) P(W_i) P(Wi)，写出一个取巧的联合分布公式 (2) P ( W i ) = ∑ k P ( W i , H k ) = ∑ k P ( W i ∣ H k ) P ( H k ) P(W_i)=\sum_k{P(W_i,H_k)}=\sum_k{P(W_i|H_k)P(H_k)} \tag{2} P(Wi)=k∑P(Wi,Hk)=k∑P(Wi∣Hk)P(Hk)(2)右侧是贝叶斯公式转变而来的。联合公式(1)(2)可得： (3) P ( W i ) = ∑ k P ( H k ∣ W i ) P ( W i ) P ( H k ) ∑ j P ( H k ∣ W j ) P ( W j ) P(W_i) = \sum_k{\frac{P(H_k|W_i)P(W_i)P(H_k)}{\sum_j{P(H_k|W_j)P(W_j)}}} \tag{3} P(Wi)=k∑∑jP(Hk∣Wj)P(Wj)P(Hk∣Wi)P(Wi)P(Hk)(3)注意内外求和符号中，求和的对象是j和k。(3)中左右两侧都有 P ( W i ) P(W_i) P(Wi)，联系牛顿下降法的推导，可以得到一个迭代公式： (4) P r + 1 ( W i ) = ∑ k P ( H k ∣ W i ) P ( H k ) P r ( W i ) ∑ j P ( H k ∣ W j ) P r ( W j ) P^{r+1}(W_i) = \sum_k{\frac{P(H_k|W_i)P(H_k)P^r(W_i)}{\sum_j{P(H_k|W_j)P^r(W_j)}}} \tag{4} Pr+1(Wi)=k∑∑jP(Hk∣Wj)Pr(Wj)P(Hk∣Wi)P(Hk)Pr(Wi)(4)
现将(4)应用到真实图像复原场景中去。Richardson W H. 1972. 设定 P ( W i ) = W i / W P(W_i)= W_i/W P(Wi)=Wi/W， W W W是归一化系数，对其他项也是同样的。(4)中各项概率值可以直接等效为像素值，其中归一化系数在上下分式中被舍弃： (5) W i r + 1 = ∑ k S i , k H k W i r ∑ j S j , k W j r W_i^{r+1} = \sum_k{\frac{S_{i,k}H_kW^r_i}{\sum_j{S_{j,k}W^r_j}}} \tag{5} Wir+1=k∑∑jSj,kWjrSi,kHkWir(5)
现将(5)扩展到二维图像复原。首先必须注意到内外求和公式中求和项分别是k和j。(5)中外面的求和项中，i是当前像素点，是当前处理区域中心点；而在内部下方的求和中，j是可变的，k才是中心点。因此图像复原公式为： W r + 1 = W r S f l i p ∗ H S ∗ W r W^{r+1}=W^r\frac{S^{flip}*H}{S*W^r} Wr+1=WrS∗WrSflip∗H
实例
实际应用中，观测图像、点扩散函数是已知的。本文对lena图像进行了11x11的高斯滤波，并就加入高斯噪声、盐噪声进行了测试。
高斯滤波+高斯噪声
高斯滤波+高斯噪声的复原效果，细节还原还好，振铃效应显著，需要改进的LR算法。
高斯滤波+5%盐噪声
高斯滤波+5%盐噪声的复原结果，效果很差，说明原始LR算法对噪声是很敏感的。
对观测图像（高斯滤波+5%盐噪声）进行3x3中值滤波之后的复原结果，效果比直接用LR复原要好得多。
代码
Wk = np.ones_like(blur)
Wk =Wk / np.sum(Wk)
W = np.ones_like(blur)
W = W/ np.sum(W)
#median = cv2.medianBlur(blur,3)
#H = median / np.sum(median)
H = blur / np.sum(blur)
S=gkernel
ST =np.flip(S)
for i in range(0,100):
W=Wk*cv2.filter2D(H/(cv2.filter2D(
Wk,ddepth = -1,kernel = ST)),ddepth = -1,kernel = S)
Wk = W
[1] Richardson W H . Bayesian-Based Iterative Method of Image Restoration*[J]. Journal of the Optical Society of America (1917-1983), 1972, 62(1):55-59.