最小生成树-Prim算法
Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边
b.将v加入集合Vnew中，将
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
| 此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - | |
| 顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D | |
| 下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D | |
| 算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F | |
| 在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B | |
| 这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E | |
| 顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C | |
| 现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)
3).将
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
4.算法代码实现(未检验)
#define MAX 100000
#define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10
int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0}; //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与Vnew最邻近的点
void prim(int start)
{
int sumweight=0;
int i,j,k=0;
for(i=1;i
5.时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v2) 邻接表:O(elog2v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{
用反证法，如果T'+{
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
4.代码算法实现
typedef struct
{
char vertex[VertexNum]; //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
int n,e; //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;
typedef struct node
{
int u; //边的起始顶点
int v; //边的终止顶点
int w; //边的权值
}Edge;
void kruskal(MGraph G)
{
int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;
int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通
int E[EdgeNum]; //存放所有的边
k=0; //E数组的下标从0开始
for (i=0;i %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);
k++;
for (i=0;i
时间复杂度：elog2e e为图中的边数