欧拉函数|(扩展)欧拉定理|欧拉反演

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欧拉函数

• 定义
  欧拉函数是 小于等于 x的数中与x 互质 的数的 数目
  符号\(\varphi(x)\)
  互质 两个互质的数的最大公因数等于1,1与任何数互质

• 通式
  \(\varphi(x)=x\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})\)
  其中\(p_i\)为\(x\)的质因子,\(n\)为\(x\)的因子个数

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欧拉函数常用性质

• 若\(n\)为质数，显然\(\varphi(n)=n-1\)
  \(\begin{aligned}\end{aligned}\)
• 欧拉函数是积性函数
  积性函数: 对于任意 互质 的整数\(a\)和\(b\)有性质\(f(ab)=f(a)·f(b)\)的数论函数。
  若\(m,n\)互质，\(\varphi(mn)=\varphi(m)·\varphi(n)\)
  \(\begin{aligned}\end{aligned}\)
• 如果\(x=2n\)(\(n\)为奇数)，\(\varphi(x)=\varphi(n)\) 即\(\varphi(2n)=\varphi(n)\)(\(n\)为奇数)
  n为奇数时,n与2互质，\(\varphi(2)=1\)
  \(\begin{aligned}\end{aligned}\)
• 若\(p\)为质数,则\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)
  因为与\(p^k\)不互质的只有\(p\)的倍数，而\(p^k\)中\(p\)的倍数有\(p^{k-1}\)个
  \(\begin{aligned}\end{aligned}\)
• 当\(x>2\)时，\(\varphi(x)\)为偶数
  这一点需要了解更相减损术 即\(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)\)
  由该公式我们可以知道，所有与\(n\)互质的数都是成对出现的
  \(\begin{aligned}\end{aligned}\)
• 小于n的数中，与n互质的数的总和为\(\varphi(n)*n/2\ \ (n>1)\)
  由上面的证明(更相减损术)我们知道，每一对与\(n\)互质的数的和为\(n\)，共有\(\varphi(n)/2\)对
  \(\begin{aligned}\end{aligned}\)
• \(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)即\(n\)的因数\((\)包括\(1\)和它自己\()\)的欧拉函数之和等于\(n\)
  这条性质的运用又叫 欧拉反演
  定义函数
  \(\begin{aligned}f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)\end{aligned}\)
  • \(f(n)\)为积性函数
    \(\begin{aligned}f(n)·f(m)=\sum_{i|n}\varphi(i)\sum_{j|m}\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(i)·\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(i·j)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=f(nm)\end{aligned}\)

  \(f(p^k)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\cdots+\varphi(p^k)=1+(p-1)+(p^2-p)+\cdots+(p^k-p^{k-1})=p^k\)

  \(n=p_1^{k_1} ·p_2^{k_2}· \cdots·p_m^{k_m}\)

  \(f(n)=f(p_1^{k_1})·f(p_2^{k_2})·\cdots·f(p_m^{k_m})=p_1^{k_1} ·p_2^{k_2}· \cdots·p_m^{k_m}=n\)
  \(\begin{aligned}\end{aligned}\)

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欧拉定理

若\(a,m\)互质，\(a^{\varphi(m)}≡1(mod\ m)\)

• 证明
  • 剩余系 指对于某一个特定的正整数\(n\)，一个整数集中的数\(mod\ n\)所得的余数域。
    • 完全剩余系 设\(m\in Z+\)，若\(r_0,r_1,...r_{m−1}\)为\(m\)个整数，并且两两模\(m\)不同余，则\(r_0,r_1,...r_{m−1}\)叫作模\(m\)的一个完全剩余系。
    • 缩系 设\(A\)是\(mod\ n\)的剩余系，若任意\(A\)中两个元素相乘\(mod\ n\)后仍为\(A\)中的元素,则称\(A\)为\(mod\ n\)的缩系
    • 若\(a,m\)互质，则\(m\)的一个缩系为
      \(\{x_1,x_2,x_3...x_{\varphi(m)}\}\)
      \(\{ax_1\%m,ax_2\%m,ax_3\%m...ax_{\varphi(m)}\%m\}\)也是\(mod\ m\)的缩系
      于是可以得到
      \(\sum_{i=1}^{\varphi(m)}ax_i\equiv \sum_{i=1}^{\varphi(m)}x_i\ (mod\ m)\)
      \(a^{\varphi(m)}\sum_{i=1}^{\varphi(m)}x_i\equiv \sum_{i=1}^{\varphi(m)}x_i\ (mod\ m)\)
      \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\ (mod\ m)\)
      • 而当\(m\)为质数时，\(\varphi(m)=m-1\)
        \(a^{(m-1)}≡1(mod\ m)\)
        这就是我们熟知的 费马小定理
• 变式 \(a,m\)互质\(a^b≡a^{b\%\varphi(m)}(mod\ m)\)

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扩展欧拉定理

若\(b>\varphi(m)\) 即使\(a,m\)不互质，\(a^b≡a^{b \%\varphi(m)+\varphi(m)}\left(mod\ m\right)\)

• 证明
  从\(m\)中提一个质因子\(p\)出来 令\(m=p^k·s\)
  有\(gcd(p^k,s)=1\)，即\(p^k,s\)互质
  根据欧拉定理，我们知道\(p^{\varphi(s)}≡1(mod\ s)\)
  根据欧拉函数是积性函数，我们知道\(\varphi(s)|\varphi(m)\)所以有\(p^{\varphi(m)}≡p^{\varphi(s)}(mod\ s)\)
  设\(p^{\varphi(s)}=xs+1\)
  那么\(p^{\varphi(s)+k}=xm+p^k\)
  所以\(p^{\varphi(s)+k}≡p^k (mod\ m)\)，也有\(p^{\varphi(m)+k}≡p^k (mod\ m)\)
  当\(b>=k\)时，\(p^b≡p^{b-k}·p^k≡p^{b-k}·p^{\varphi(s)+k}≡p^{b+\varphi(m)}(mod\ m)\)
  又因为\(k<=\varphi(p^k)<=\varphi(m)\)，所以当\(b>=2\varphi(m)\)时，满足\(p^b≡p^{b-\varphi(m)}(mod\ m)\)
  注意是\(2\varphi(m)\)!
  所以可以得到\(p^b≡p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)
  因此我们可以得到对任意质数\(p\)都有\(b>=2\varphi(m),p^b≡p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)
  非\(m\)质因子的\(p\)，有欧拉定理
  将\(a\)因式分解，可以得到
  \(a^b≡a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)
  • 注意 \(b<\varphi(m)\)时，公式不一定成立

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# 线性筛法

类似与筛素数，我们在这里利用欧拉函数是积性函数这个性质来筛\(\varphi\)
\(\mathcal{Code}\)

int cnt;
int prime[maxn],phi[maxn];
bool vis[maxn];
void Euler_sieve (int n)
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (!vis[i])    prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){
            vis[i*prime[j]]=true;
            if (i%prime[j]==0){ phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
} 

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欧拉反演

利用欧拉函数的一条性质
\(\begin{aligned}n=\sum_{d|n}\varphi(d)\end{aligned}\)
(上面有证明)
我们试着把\(n\)换成其他东西试试
\(\begin{aligned}gcd(i,j)=\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)=\sum_{d|i}\sum_{d|j}\varphi(d)\end{aligned}\)
让我们求个东西试试
\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{d|n}\varphi(d)=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)\end{aligned}\)
把它重写一遍作为结论
\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)\end{aligned}\)

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