机器学习： 特征脸算法 EigenFaces

人脸识别是机器学习和机器视觉领域非常重要的一个研究方向，而特征脸算法是人脸识别里非常经典的一个算法，EigenFaces 是基于PCA (principal component analysis) 即主分量分析的。

一张尺寸为 w×h 的人脸图像 Ii 可以看成是一个 D×1 的列向量, x∈RD ，其中 D=w×h ， 那么，给定一个训练集 S ， 含有 m 张人脸图像, 即: S={xi},i=1,2,...m ， 简单来说，我们希望通过一些线性映射，将原始向量 x 从高维空间 RD 变换到一个低维空间 RK ， K≪D .

利用PCA 分析：
1: 先求训练集 S 的均值向量 x¯=1m∑mi=1xi

2: 向量去均值： Φi=xi−x¯

3: 求协方差矩阵 C=1m∑mi=1ΦiΦTi , 如果我们定义 A=[Φ1,Φ2,...,Φm] , A∈RD×m , 那么 C=AAT

4: 特征值分解: Cui=γiui

我们知道协方差矩阵是一个高维矩阵 C∈RD×D . 如果直接进行特征分解，无疑是非常消耗资源也很费时的。特征脸算法做了一个非常巧妙的变换，我们先来看 ATA 的特征值分解，因为 ATA∈Rm×m ，比起 C 来说，维度要小得多。我们可以得到：

ATAvi=λivi 进一步可以得到:

AATAvi=λiAvi 即：

CAvi=λiAvi 所以我们看到:

Cui=λiuiui=Avi

换句话说， AAT 与 ATA 有相同的特征值，而特征向量满足如下关系：

ui=Avi

严格说来， AAT∈RD×D ， 最多可以有 D 个 特征值与特征向量。

而 ATA∈Rm×m , 最多可以有 m 个 特征值与特征向量。

ATA 中的 m 个 特征值与特征向量 对应 AAT 中 前 m 个最大的特征值以及特征值相对应的特征向量。

所以通过这种变换， 可以非常快速地求得 AAT 的特征向量 ui=Avi 。

5: 将特征值从大到小排序，截取前面 K 个特征值及对应的特征向量。我们可以用特征向量的线性组合来表示原来的去均值向量，即：

xi−x¯=Φi=∑Kj=1wjuj

wj=ΦTiuj

如果定义， Ω=[w1,w2,...,wK] , U=[u1,u2,...,uK] , 那么可以得到

Ω=ΦTiU ， 我们看到，通过引入 Eigenfaces, 我们将高维向量 Φi 映射到低维向量 Ω 。

做人脸识别的时候，我们可以先将训练集中的每个subject的人脸图像映射到低维空间 Ω1,Ω2,...Ωq , q 表示subject 的个数。给定一个测试样本 x ，先做去均值， Φ=x−x¯ ，然后再映射到低维空间，得到低维向量 Ω ，我们要求解如下的目标函数：

argminl∥Ω−Ωl∥

进而确定测试样本属于哪个subject。