以一个初学者的视角理解回溯问题——简单易懂的N皇后问题解决方案

问题描述：

N皇后问题是指在N*N的国际象棋棋盘上放上N个皇后，她们之间互相不能攻击，用回溯算法得出这个问题的所有解。

解决思路：

1、理解回溯算法：

作为五大经典算法，回溯算法的地位之高不言而喻，在面对需要一步一步解决的问题时（例如：下棋、迷宫、最佳调度），它是一种非常通用的解题方法。这种算法概括起来就是一种类似枚举的搜索尝试过程，它的基本思想就是在空间中摸索，遇到不满足约束条件时，回退到之前导致这个结果的节点并另做选择，直到搜索出结果为止。

2、关于错误的理解

     回溯问题非常容易地被错误的理解为这种感觉：

1、走一步

2、如果这步对：继续走

3、否则：返回上一步，选择另一步

     这里“步”的概念非常容易被混淆，回溯问题追溯的是“步”，但不是“一步”，而是一系列的步数（一组选择），就说如果你如果做错了什么事情，你应该回到的是你开始做这件事情的时候（而不是前一步），并且在那里选择另外一条路去尝试。

       这听起来有些匪夷所思，但这就是我们来解决这个问题思想的核心所在。

       我们来看一段代码，看看我们如何实现这个思想。

bool Walk-1(走的坐标)//第一次递归 
{
    if(判断还能不能走的函数)
    {
         return 不能走; //退出递归基准情况 1 
    }
    if(走到终点了)
    {
	return 到终点！//退出递归基准情况 2 
    }
    if(Walk(下一步))//看看下步能不能走 
    {
	    return 能走;
    }
    if(walk(另一步))
    {
	    return 能走; 
    } 
}
bool Walk-2(走的坐标)//第二次递归 
{
        if(判断还能不能走的函数)
        {
             return 不能走; //退出递归基准情况 1 
        }
	if(走到终点了)
	{
		return 到终点！//退出递归基准情况 2 
	}
	if(Walk(下一步))//看看下步能不能走 
	{
		return 能走;
	}
	if(walk(另一步))
	{
	     return 能走; 
	} 
}

.......
bool Walk-n(走的坐标)//第n次递归 
{
    if(判断还能不能走的函数)//如果这里判断为不能走，则上一个递归的walk n-1会得到“不能走”，上上个递归也会得到“不能走”
    {
         return 不能走; //于是一层一层的walk全都返回“不能走”，最后回溯到walk-1，于是walk-1就不走“下一步”了，它就会去尝试走"另一步" 
	}
	if(走到终点了)
	{
		return 到终点！//退出递归基准情况 2 
	}
	if(Walk(下一步))//再看看下步能不能走
	{
		return 能走;
	}
	if(Walk(另一步))
	{
	     return 能走; 
	} 
}

       这里我是用递归的办法来实现这个算法。这是一种非常特殊的递归，它在if语句中调用走下一步递归函数，这里的if(Walk（下一步）)就好像可以返回未来的结果，并且通过这个结果来改变当前一步的进程，真正做到了你如果做错了什么事情，你就会回到开始做这件事情的时候。

“if(递归函数（下一步）)”这个可以作为回溯问题的一个模板。（想回溯问题想不通的时候感觉就往这个里面套就好了^_^）

所以我们现在要解决N皇后问题，就明确了回溯算法的解决思路：

第一步：放下皇后

第二步：判断是否可以放，如果可以放就到第三步，否则就第四步。

第三步：判断是否放到最后一行，如果不是，递归进入下一行，回到第一步；如果是，打印一个解，返回失败，递归返回之前的节点。

第四步：判断是否放到最后一列，如果不是，递归进入下一列，回到第一步；如果是，就返回失败，递归回到上一个节点。

第五步：判断是否所有的可能性都下完，如果是，返回成功，递归结束；如果否，什么都不做。

#include
#define NQ 7 //皇后的数量 
using namespace std;
char NQueen[NQ][NQ];//皇后的二维数组
int Index = 0;//数打出多少个 
bool judge(int row,int column)//判断皇后是否互相攻击 
{
    if(row==0)//下第一步肯定没人攻击
        return true;
    for(int i = 0;i < NQ;i++)//判断斜对角攻击
    {
        for(int j = 0;j < NQ;j++)
        {
            if(!(row==i&&column==j))
                if(row+column==i+j||row-column==i-j||column-row==j-i)
                    if(NQueen[i][j]=='Q')
                        return false;
        }
    }
    for(int i = 0;i < row;i++)//判断列攻击 
    {
        if(NQueen[i][column]=='Q')
            return false;
    }
    for(int i = 0;i < column;i++)//判断行攻击（其实没必要） 
    {
        if(NQueen[row][i]=='Q')
            return false;
    }
    return true;
}
void print()//打印函数
{
    for (int i = 0;i

整个基本流程都在代码上打好注释了，看代码即可。

要提的是此处的递归函数WalkNQ的基准情况(Base Condition)设置相当巧妙，在得到一个解的时候（第一个基准情况），不返回true，而是打印该时刻的数组，直到回溯到最后一种情况的时候才结束递归。这种设置多种基准情况的形式可以使回溯算法穷举结果。这个确实有点难理解，但是理解透彻了做很多题会轻松很多。

 

3、判断皇后互相攻击的函数

解决完回溯算法的函数，我们最后来看看判断皇后是否互相攻击的函数。

判断同行同列攻击就不用说了，判断斜对角的攻击比较复杂。

这里有个挺有意思的规律：

凡是在斜对角上的坐标，行列相加或相减都会等于皇后所在位置的行列相加或交错相减，这个很拗口，我把图和代码放上来。

 

for(int i = 0;i < NQ;i++)//判断斜对角攻击
    {
        for(int j = 0;j < NQ;j++)
        {
            if(!(row==i&&column==j))//小心！他自己本身的位置也是满足判断是否被攻击的公式的！要剔除他本身的位置。
                if(row+column==i+j||row-column==i-j||column-row==j-i)
                    if(NQueen[i][j]=='Q')/
                        return false;
        }
    }if(row+column==i+j||row-column==i-j||column-row==j-i)
                    if(NQueen[i][j]=='Q')/
                        return false;
        }
    }

解决了这个问题，基本上整个N皇后问题就迎刃而解了！

 

感觉这种解决问题的思路同样适用于最佳调度和迷宫问题，下次可以再写一篇。

代码写得还蛮OK，改改添添应该可以弄出很多玩法，欢迎调戏！

水平尚不足，欢迎指正批评！