数学建模之灰色预测模型

灰色系统分析方法在建模中的应用

• CUMCM2003A SARS的传播
• CUMCM2005A 长江水质的评价和预测
• CUMCM2006A 出版社的资源配置
• CUMCM2007A 中国人口增长预测

引例1（CUMCM2003A）

• SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：
  （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
  （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。
  （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。

引例2（CUMCM2005A）

请你们研究下列问题：
（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（水体空间建模、图论）
（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？
（5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。

主要内容

1. 灰色预测概念

(1) 灰色系统、白色系统和黑色系统

• 白色系统：指一个系统的的内部特征是完全可以认知的，即系统的信息完全公开。
• 黑色系统：指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。
• 灰色系统：一部分的信息是已知的，另一部分是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。

（2） 灰色预测法

• 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与实践有关的灰色过程进行预测。
• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
• 灰色预测法用等时距（一定是一步一步递推的、第一年、第二年。。。）观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模 型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。

（3） 灰色预测的四种常见类型

• 灰色时间序列预测
  • 即用观察到的反应预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
• 畸变预测
  • 即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
• 系统预测
  • 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
• 拓扑预测
  • 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值发生的时点。

2.灰色生成数列

灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。

通俗来说：就是通过一些方法，把数据进行处理，从而生成规律数列。

（1）累加生成

• 把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（AGO）。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。设原始数列为$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...),$令
  $$x^{(1)}k=\sum _{i=1}^k{x}^{(0)}(i),k=1,2,...,n$$
  第一个数 = 原始数据的第一个；第二个数 = 原始数据的前两个相加。
  $$x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...,x^{(1)}(n))$$
  上面的括号代表着第几个数列，下面的括号代表着数列的第几个数（元素）。
• 称所得到的新数列为数列$$x^{(r)}(k)=\sum _{i=1}^k{x}^{(r-1)}(i),k=1,2,...,n,r\ge 1$$
  
  

(2) 累减生成

• 对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程1-AGO。如果原始数据列为$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...)$，令$x^{(0)}(k)=x^{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1),k=2,3,...,n$,称所得到的数列$x^{(0)}$为$x^{(1)}$的1次累减生成数列。
• 注：从这里的几号也能看到，从原始数列$x^{(0)}$，得到新数列$x^{(1)}$，在通过累减生成可以还原出原始数列实际运用中在数列$x^{(1)}$的基础上预测出${\hat{x}}^{(1)}$，通过累减生成得到预测数列${\hat{x}}^{(0)}$。
  

（3）加权累加生成

• 设原始数列为$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...)$，称$x^{(0)}(k-1)$，$x^{(0)}(k)$是$x^{(0)}$的邻值。
• k-1为后邻值，k为前邻值，对于常数$\alpha \in [0,1]$，令$z^{(0)}(K)=\alpha x^{(0)}(k)+(1-\alpha )x^{(0)}(k-1),k=2,3,...n$由此得到的数列$x^{(0)}$称为数列$z^{(0)}$在权$\alpha$下的邻值生成数，权$\alpha$也称为生成系数。
• 特别地，当生成系数$\alpha =0.5$时，则称$z^{(0)}(K)=0.5x^{(0)}(k)+0.5x^{(0)}(k-1),k=2,3,...n$为均值生成数，也称为等权邻值生成数。

3.灰色模型GM（1,1）

• 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。
• G表示grey（灰色），M表示model（模型）

4.案例：SARS疫情对某些经济指标的影响

5. 案例：食品价格灰色关联分析