博弈（SG函数讲解及其应用）（hdu1848）

摘自jumping_frog聚聚的博客：

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如

mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继},这里的g（x）即

sg[x]。

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

   x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1....

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用getSG()计算

模板1如下（SG打表）：

//f[]：可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f[N];//可以取走的石子个数
int sg[N];//0~n的SG函数值
int Hash[N];

void getSG(int n){
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        memset(Hash,0,sizeof(Hash));
        for(int j = 1; f[j] <= i; j++)
            Hash[sg[i-f[j]]] = 1;
        for(int j = 0; j <= n; j++){    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
            if(Hash[j] == 0){
                sg[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
}

模板2如下（dfs）：

//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
int s[N],sg[N],n;
bool vis[N];
int dfs_SG(int x){
    if(sg[x] != -1)
        return sg[x];
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        if(x >= s[i]){
            dfs_SG(x-s[i]);
            vis[sg[x-s[i]]] = 1;
        }
    }
    for(int i = 0;; ++i){
        if(!vis[i]){
            e = i;
            return sg[x] = i;
        }
    }
}

hdu 1848 Fibonacci again and again

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848

解题思路：

题目大意：

取石子问题，一共有3堆石子，每次只能取斐波那契数个石子，先取完石子者胜利，问先手胜还是后手胜？

算法思想：

可选步数为一系列不连续的数（斐波那契数），可用getSG函数求得。 

最终结果是所有SG值异或的结果 。

AC代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1005;
int f[N];//可以取走的石子个数
int sg[N];//0~n的SG函数值
int Hash[N];

void getSG(int n){
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        memset(Hash,0,sizeof(Hash));
        for(int j = 1; f[j] <= i; j++)
            Hash[sg[i-f[j]]] = 1;
        for(int j = 0; j <= n; j++){    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
            if(Hash[j] == 0){
                sg[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
}

int main(){
    f[0] = f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 16; i++)
        f[i] = f[i-1]+f[i-2];
    getSG(1000);
    int m,n,p;
    while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&p),m+n+p){
        if(sg[m]^sg[n]^sg[p])
            puts("Fibo");
        else
            puts("Nacci");
    }
    return 0;
}