Aho-Corasick自动机算法(AC算法解读)

了解此算法，要有有线状态自动机基础。

该算法的基本思想是这样的：
在预处理阶段，AC自动机算法建立了三个函数，转向函数goto，失效函数failure和输出函数output，由此构造了一个树型有限自动机。
在搜索查找阶段，则通过这三个函数的交叉使用扫描文本，定位出关键字在文本中的所有出现位置。

此算法有两个特点，一个是扫描文本时完全不需要回溯，另一个是时间复杂度为O(n)，时间复杂度与关键字的数目和长度无关。

对应模式集{he, she, his, hers}的树型有限自动机

goto函数：

fail函数：

output函数：

i           output(i)

2           {he}

5           {she,he}

7           {his}

9           {hers}

3. 转向，失效和输出函数的构建 
    现在说明如何根据一个关键字集建立正确的转向、失效和输出函数。整个构建包含两个部分，在第一部分确定状态和转向函数，在第二部分我们计算失效函数。输出函数的计算则是穿插在第一部分和第二部分中完成。
  为了构建转向函数，我们需要建立一个状态转移图。开始，这个图只包含一个代表状态0。然后，通过添加一条从起始状态出发的路径的方式，依次向图中输入每个关键字p。新的顶点和边被加入到图表中，以致于产生了一条能拼写出关键字p的路径。关键字p会被添加到这条路径的终止状态的输出函数中。当然只有必要时才会在图表中增加新的边。

首先说匹配算法：

算法1. Pattern matching machine
输入：text和M。text是x=a1a2...an，M是模式匹配自动机（包含了goto函数g(),failure函数f()，output函数output()）
输出：text中出现的pat以及其位置。
 
state←0
for i←1 until n do //吞入text的ai
     while g(state, ai)=fail 
         state←f(state) //直到能走下去，呵呵，至少0那个状态怎么着都能走下去
     state←g(state,ai) //得到下一个状态
     if output(state)≠empty //能输出就输出
         print i;
         print output(state)

建立转向函数goto function：

算法2. Construction of the goto function
输入：patterns集合K={y1,y2,...,yk}
输出：goto function g 和output function output的中间结果
 
/*
We assume output(s) is empty when state s is first created, and g(s,a)=fail if a is
undefined or if g(s,a) has not yet been defined. The procedure enter(y) inserts into
the goto graph a path that spells out y.
*/
 
newstate←0
fori ← 1until k //对每个模式走一下enter(yi)，要插到自动机里来嘛
     enter(yi)
for all a such that g(0,a)=fail
     g(0,a)←0
 
 
enter(a1a2...am)
{
     state←0;j←;1
     while g(state,aj)≠fail //能走下去，就尽量延用以前的老路子，走不下去，就走下面的for()拓展新路子
         state←g(state,aj)
         j←j+1
 
     for p←j until m //拓展新路子
         newstate←newstate+1
         g(state,ap)←newstate
         state←newstate
 
     output(state)←{a1a2...am} //此处state为每次构造完一个pat时遇到的那个状态
}

Failure function的构造：（这个比较抽象）

大家注意状态0不在failure function中，下面开始构造，首先对于所有depth为1的状态s，f(s)=0，然后归纳为所有depth为d的状态的failure值都由depth-1的状态得到。

具体讲，在计算depth为d的所有状态时候，我们会考虑到每一个depth为d-1的状态r

1.       如果对于所有的字符a，g(r,a)=fail，那么什么也不做，我认为这时候r已经是trie树的叶子结点了。

2.       否则的话，如果有g(r,a)=s，那么执行下面三步

（a）       设置state=f(r) //用state记录跟r共前缀的东东

（b）       执行state=f(state)零次或若干次，直到使得g(state,a)!=fail（这个状态一定会有的因为g(0,a)!=fail）//必须找条活路，能走下去的

（c）       设置f(s)=g(state,a)，即相当于找到f(s)也是由一个状态匹配a字符转到的状态。

实例分析：

首先我们将depth为1的状态f(1)=f(3)=0，然后考虑depth为2的结点2，6，4

计算f(2)时候，我们设置state=f(1)=0，因为g(0,e)=0,所以f(2)=0;

计算f(6)时候，我们设置state=f(1)=0，因为g(0,i)=0,所以f(6)=0;

计算f(4)时候，我们设置state=f(3)=0，因为g(0,h)=1,所以f(4)=1;

然后考虑depth为3的结点8，7，5

计算f(8)时候，我们设置state=f(2)=0，因为g(0,r)=0,所以f(8)=0;

计算f(7)时候，我们设置state=f(6)=0，因为g(0,s)=3,所以f(7)=3;

计算f(5)时候，我们设置state=f(4)=1，因为g(1,e)=2,所以f(5)=2;

最后考虑depth为4的结点9

计算f(9)时候，我们设置state=f(8)=0，因为g(0,s)=3,所以f(9)=3;

 

具体算法：

算法3. Construction of the failure function
输入：goto function g and output function output from 算法2
输出：failure function f and output function output
 
queue←empty  //首先清空队列
for each a such that g(0,a)=s 且 s≠0  //把状态0的所有后续非0状态存入临时队列
     list_add_tail(queue, s)  
     f(s)←0
 
while queue≠empty {
     pop(queue);  //每次循环弹出queue中的首个state r 【r的深度为当前深度】
     for each a such that g(r,a)=s 且 s≠fail //r是队列头状态，如果r遇到a能走下去，【s的深度是r的深度+1】
         list_add_tail(queue, s)  //把这个新的状态放到队列
 
  

 
  
	 //start：找到r的失败状态state的条件为字符a的状态（还是保存在state变量中）
 state←f(r) while g(state,a)=fail state←f(state) 
  
 
  
	 //end：找到r的失败状态state的条件为字符a的状态（还是保存在state变量中）
 f(s)←g(state,a) //把此时的状态state作为s状态的匹配失败后的后续状态（注意，s的深度是r的深度+1） }