层次分析法（AHP）

层次分析法（AHP）

问题的提出

日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。

• 购物：买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格等方面的因素来选择某一只钢笔。 买饭，则要依据色、香、味等方面的因素选择某种饭菜。
• 旅游：选择旅游地的时候，一般会依据景色、费用、食宿条件等因素选择去哪个地方。

面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后做出决策。这个过程主观因素占有相当的比重，给用数学方法解决问题带来不便。而层次分析法就是用来有效处理这类问题的实用方法。

层次分析法的基本步骤

1.建立层次结构模型

一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。

若上层的每个因素都支配者下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。

2.构造成对比较矩阵

设某一层有n个因素，X={x1,x2,….xn}。要比较该层的每一个因素对上一层的某个因素的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。
假设上一层有m个因素，该层有n个因素，那么对于该层我们需要构建m个n*n的成对比较矩阵。

用 aij 表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，比较时取1~9尺度。

aij=1aji

A=(aij)n∗n=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥

A则称为成对比较矩阵。

对于买钢笔问题，中间层能和上一层的买钢笔构成一个成对比较矩阵

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢121/41/31/31/211/71/51/547123351/211351/311⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

问题： 两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？

3.层次单排序及一致性检验

层次单排序：确定该层各因素对上层某因素影响程度的过程

先看一个简单的例子：一块石头重量记为1，打碎分为n个小块，各块的重量分别记为：w1，w2,……wn。

则可以得到成对比较矩阵

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢1w2/w1...wn/w1w1/w21...wn/w2............w1/wnw2/wn...1⎤⎦⎥⎥⎥⎥

从该矩阵可以看出， wiwj=wiwk∗wkwj ,即 aik∗akj=aij,其中i,j=1,2,…n

然而这个性质不是一定成立的 ，比如对于2.例子中的A， a23=7,a21=2,a13=4 ,但是 a23≠a21∗a13

因此我们定义，满足这个性质的正互反矩阵为一致阵

一致阵的性质：

1. aij=1aji,aii=1i,j=1,2,….,n
2. AT 也是一致阵
3. A的各行成比例，即rank(A)=1
4. A的最大特征值为n，其余n-1个特征值均为0
5. A的任一列（行）都是对应于特征根n的特征向量。

定理：n阶互反阵A的最大特征根 λ≥n ,当且仅当 λ=n 时，A为一致阵。

归一化：

• 如果成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取其最大特征根n的归一化特征向量 {w1,w2,…,wn} ,且 ∑Nn=1wi=1 , wi 表示下层第i个因素对上层某因素影响程度的权值。

• 如果成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量w。

  ​

λ 比n大的越多，A的不一致性就越严重，引起的判断误差也越大。因此可以用 λ−n 的大小来衡量A的不一致程度。

定义一致性指标CI=λ−nn−1

其中n为A的对角线元素之和，也称为A的特征值之和。

随机构造500个成对比较矩阵 A1，A2，…A500

则可得一致性指标 CI1,CI2,…,CI500

定义随机一致性指标RI=CI1+CI2+...CI500500=λ1+λ2+...λ500500−nn−1

一般，当一致性比率 CR=CIRI<0.1 时，认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对A加以调整。

一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。

4.层次总排序及其一致性检验

下面图过多，就偷懒贴ppt吧~

总结层次分析法的基本步骤

1. 建立层次结构模型
2. 构造成对比较矩阵
3. 计算单排序权向量并做一致性检验
4. 计算总排序权向量并做一致性检验

层次分析法建模举例

继续偷懒。。看ppt吧