浮点数表示方法

之前的一些工作当中碰到了很多有关浮点数的问题，比如浮点数的表达范围、表达精度、浮点数的存储方式、浮点数的强制类型转换等等，因此感觉有必要系统了解一下有关浮点数的问题。

浮点数表示 

浮点数是一种 公式化 的表达方式，用来近似表示实数，并且可以在表达范围和表示精度之间进行权衡（因此被称为浮点数）。

浮点数通常被表示为：

N=M×R^E

比如： 12.345=1.2345×10^1

其中，M(Mantissa)被称为浮点数的 尾数 ，R(Radix)被称为阶码的 基数 ，E(Exponent)被称为阶的 阶码 。计算机中一般规定R为2、8或16，是一个确定的常数，不需要在浮点数中明确表示出来。

因此，在已知标准下，要表示浮点数，

一是要给出尾数M的值，通常用定点小数形式表示，它决定了浮点数的表示精度，即可以给出的有效数字的位数。

二是要给出阶码，通常用定点整数形式表示，它指出的是小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。因此，在计算机中,浮点数通常被表示成如下格式:（假定为32位浮点数，基为2，其中最高位为符号位）

浮点数的规格化表示 

按照上面的指数表示方法，一个浮点数会有不同的表示：

0.3×10^0；0.03×10^1；0.003×10^2；0.0003×10^3；

为了提高数据的表示精度同时保证数据表示的唯一性，需要对浮点数做规格化处理。

在计算机内，对非0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须大于基数的倒数，即|M|≥1/R。

即要求尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。

比如，二进制原码的规格化数的表现形式：(0正1负)

正数 0.1xxxxxx

负数 1.1xxxxxx

注意，尾数的最高位始终是1，因此我们完全可以省略掉该位。

至此，我们引入IEEE754 标准，该标准约束了浮点数的大部分使用设置：(尾数用原码；阶码用“移码”；基为2)

(1) 尾数用原码,且隐藏尾数最高位。

原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为 1，因此可以忽略掉该位,这样用同样多的位数就能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。

(2) 阶码使用“移码”，基固定为2

如下图的32bit浮点数和64bit浮点数，从最高位依次是符号位、阶码和尾数 

于是，

一个规格化的32位浮点数ｘ的真值为：

x=(−1)^s×(1.M)×2E^−127

一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为：

x=(−1)^s×(1.M)×2E^−1023

下面举一个32位单精度浮点数-3.75表示的例子帮助理解：

(1) 首先转化为2进制表示

−3.75=−(2+1+1/2+1/4)=−1.111×2^1

(2) 整理符号位并进行规格化表示

−1.111×2^1=(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1

(3) 进行阶码的移码处理 
(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1
 
=(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^(128−127)

于是，符号位S=1，尾数M为1110 0000 0000 0000 0000 000
阶码E为12810=1000 00002
,则最终的32位单精度浮点数为

1 1110 0000 0000 0000 0000 000 1000 0000

浮点数的表示范围 

通过上面的规格化表示，我们可以很容易确定浮点数的表示范围：

既然有表示范围，那肯定也有不能表示的数值： 
首先来说明溢出值，如下图： 

(1)无穷值：

如果指数E=11111111(2)=255(10)
且尾数M=0
，则根据符号位S分别表示+∞
和−∞
。因此，一个有效的32位浮点数其指数最大只能为254。

此外，无穷具有传递性，比如

(+∞) + (+7) = (+∞)

(+∞) × (−2) = (−∞)

(+∞) × 0 = NaN

(2)零值：

如果指数E=0
且尾数M=0
时，表示机器0.需要注意的是，这里的0也是有符号的，在数值比较的时候 +0=−0
； 但在一些特殊操作下，二者并不显相等，比如log(x), 1/+0≠1/−0。

此外，处于负下溢出和负上溢出之间的数值会被直接归为0。

(3)NAN：

如果E=0,且尾数M≠0，则表示这个值不是一个真正的值（Not A Number）。NAN又分成两类：QNAN（Quiet NAN）和SNAN（Singaling NAN）。QNAN与SNAN的不同之处在于，QNAN的尾数部分最高位定义为1，SNAN最高位定义为0；QNAN一般表示未定义的算术运算结果，如0/0, ∞×0, sqrt(−1)；SNAN一般被用于标记未初始化的值，以此来捕获异常。

浮点数的表示精度

一般提到浮点数的精度（有效位数）的时候，总是会出现 float的有效位为6~7位, double的有效位为15~16位 。

下面以float为例，解释一下有效位数是怎样来的。

有效位数只和规格化浮点数的尾数部分有关，而尾数部分的位数是23位，因此我们首先列出下表

由上面的表格可以看出：

2^−23 和 2^−22 之间是存在间隔的，即0.0000001和0.0000002之间的小数我们是没有办法描述的，因此23位尾数最多只能描述到小数点后第7位；此外，我们通过四舍五入可以很容易发现0.0000003=0.0000004=2^−23+2^−22
, 这表明第7位有效数字只是部分准确。而第6位及之前的都是可以准确描述的，因此我们说float的有效位为6~7位。

 参考资料 

(1) WIKI 词条 “Floating Point”: https://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point

(2) WIKI 词条 “IEEE floating point”: https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating_point

(2) 浮点异常值：NAN，QNAN，SNAN: 
http://www.cnblogs.com/konlil/archive/2011/07/06/2099646.html
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作者：shuzfan 
来源：CSDN 
原文：https://blog.csdn.net/shuzfan/article/details/53814424