人脸识别:特征脸（Eigenface）

Eigenface就是将人脸图像进行编码，映射到低维子空间上，在低维空间计算两幅人脸图像的距离，以此来进行人脸识别。映射到低维子空间的方法采用主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

１．将人脸图像（均为灰度图）拉成一个列向量存储在矩阵 A＝｛A1,A2,⋯,An｝ 中， A∈Rd×n ，其中， d 是每张人脸图片的像素数目， n 是图像数目。为了保证后面的计算正常进行，我们假定图像的像素值已经转换成了double类型。

f = imread('face.jpg'); % ｆ是uint8类型
f = im2double(f);  % f转换成double类型
f = reshape(f, [d, 1]);　% f拉成列向量

在我们的例子中包含２５张人脸图像，如下图所示

２．计算平均脸 A¯¯¯=∑i=1nAi ，平均脸也可以看做是一幅人脸图像

３．将原始图像每个维度中心化， Φi=Ai−A¯¯¯ , Φ＝｛Φ1,Φ2,⋯,Φn｝ ， Φ∈Rd×n

4.对 Φ 进行主成分分析， ΦΦT=λiωi ，即求解 ΦΦT 的特征值和特征向量，将特征向量进行施密特正交化，对 λi 进行降序排列，选出前 s 个特征值对应的特征向量 Ω(Ω∈Rd×n) 作为新空间的基，将原始数据投影到新空间上
Φnewi=ΩTΦi
在新空间中采用距离度量两幅图像的相似性

注： ΦΦT=λiωi，λi 是原始数据在第 k 个方向上投影的方差值，为最大程度保留原始数据的信息，可以选择一个阈值 θ ，使得 s 满足下面的式子：
∑i=1s−1λi∑i=1nλi<θ and ∑i=1sλi∑i=1nλi≥θ

5.在我们的例子中，人脸图像数目 n 远小于图像的像素数目 d ,如果直接计算 ΦΦT 的特征值和特征向量，计算复杂度较高，对于１00 × 100 大小的图片， ΦΦT 的大小为１0000 × 10000，带来的存储和计算复杂度都是难以承受的，为此，我们可以先计算 ΦTΦ 的特征值和特征向量，即
ΦTΦμi=λiμi

ΦΦT(Φμi)=λi(Φμi)

令 ωi=Φμi ，则有 ΦΦT=λiωi

注意： ΦTΦ∈Rn×n ，而 ΦΦT∈Rd×d ，通过这样计算出来的特征向量只有 n 个，那么对于剩余的特征向量怎么办呢？事实上， n 个 d 维向量张成的空间维度最多为 n （ n<d ），我们可以直接采用这 n 个 d 维向量作为它的基，这 n 个 d 维向量可以用这组基完全表示，那么，采用另外一组基表示这个空间时，它最多需要 n 个基，换句话说，这 n 个 d 维向量在剩下的特征向量上的投影都是０，即 ΦΦT 最多有n个不为０的特征值，原始数据在剩余的特征向量上的投影都是０，所以并不需要剩余的特征向量

warning: ΦΦT 类似于 Φ 的协方差矩阵，也可以对协方差矩阵求解特征值和特征向量，采用５的方法求解时，千万不要先求解 ΦT 的协方差矩阵，再求解特征值和特征向量，个中差异请自行体会

下面撸代码，运行前需要在同一个文件夹建立一个train文件夹，在里面放入人脸图片，直接运行会提示你选择要识别的图片

clear all
s = dir('train');
s(1:2) = [];
d = 128 * 128;    % 每张图片像素总数
n = length(s);    % 训练集内照片总数
img = zeros(d, n);
for k = 1:n
    path = strcat('train/', s(k).name);
    f = imread(path);
    if(numel(size(f)) == 3)
       f = rgb2gray(f); 
    end
    f = imresize(f, [128, 128]);
    f = reshape(f, [d, 1]);
    f = im2double(f);
    img(:, k) = f;
end

mean_img = mean(img, 2);
for k = 1:n
   img(:, k) = img(:, k) - mean_img; 
end
[w, a, explained] = pcacov(img' * img);
w = img * w;
face_num = 0;   % face_num用于存储需要特征脸的数目,协方差>=95% 
per = 0;
while(per<95)
    face_num = face_num + 1;
    per = per + explained(face_num);
end

w = w(:, 1:face_num);
for k = 1:face_num
   w(:, k) = w(:, k)/norm(w(:, k)); 
end

eigenface = zeros(face_num, n);   % eigenface用于储存在人脸图像在特征空间的表达
for k = 1:n
    eigenface(:, k) = w' * img(:, k);
end

[file, path] = uigetfile({'*.*', 'All Files'}, '选择您要识别的图片：');
path = strcat(path,file);
f = imread(path);
subplot(1, 2, 1);
imshow(f);
title('要识别的图片');
if(numel(size(f)) == 3)
    f = rgb2gray(f); 
end
f = imresize(f, [128, 128]);
f = reshape(f, [d, 1]);
f = im2double(f);
f = f - mean_img;
f = w' * f;  % 将要识别的图片投影到特征空间上

% 在数据库中找寻与识别图片最相近的图片
distance = Inf;
best_k = 0;
for k = 1:n
    d = norm(f - eigenface(:, k));
    if(distance > d)
        best_k = k;
        distance = d;
    end
end

path = strcat('train/', s(best_k).name);
subplot(1, 2, 2);
imshow(path);
title('数据库中最接近的图片');