第六本书|复变函数与拉普拉斯变换（9/2更新）

编著：金忆丹 尹永成

第一章 预备知识

预备知识.png

复数的定义：形如z=x+iy的数叫做复数。

相关解释：x和y是任意实数，分别称为复数z的实部和虚部，记为x=Rez,y=Imz；
attetion:
（1）两个复数不能比较大小，只能比较相等（当实部和虚部分别相等时）。
（2）实部相同，虚部只差一个符号的两个复数互为共轭复数。z=x-iy与z=x+iy为共轭复数

复平面及复数的模、辐角

（1）复平面：
把表示复数的平面称为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴。
在复平面上，复数z=x+iy可以用由原点引向点z的向量Oz来表示，这种表示方法能使复数的加(减）法如同向量的加（减）法一样，用几何图形表示。
向量Oz的长度称为复数z的模，记为|z|或r，因此有

显然，|Rez|<=|z|<=|Rez|+|Imz|,|Imz|<=|z|<=|Rez|+|Imz|

（2）辐角：
当|z|不为0时，实轴正向与复数z所表示的向量Oz的夹角称为z的辐角，记为

任意非零复数z有无穷多个辐角，通常把满足条件

的辐角称为Arg z 的主值，记为

• 复数的其它表示方法
  

  

• 总结：复数的三种表示方法
  

  

复数的运算

（一）复数的乘法

利用复数的三角表示式和指数表示式来讨论复数的乘积与商，进一步了解复数相乘的几何意义。

两个复数乘积的模=它们模的乘积
乘积的辐角=辐角之和

attention:

（二）复数的除法

除法是乘法的逆运算。

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2018/9/2 隔了几天，把接下来的几个单元的预习笔记也补全好啦。
因为编辑器不支持数学公式，可能排版有一点点乱。算了，反正只有我自己看。（写给未来的自己，你现在还好吗？）

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（三）复数的乘幂

（四）复数的方根

复平面上的点集

（一）邻域

（二）内点、开集

（三）边界点、边界

（四）区域

（五）有界区域

（六）单联通区域

第二章 解析函数

解析函数.png

复变函数

复变函数的概念

解析函数

奇点：不解析的点称为函数的奇点。
整函数：在整个复平面上解析的函数，称为整函数。

解析函数的充分必要条件

解析函数与调和函数的关系

初等解析函数

（一）指数函数

（二）对数函数

（三）幂函数

（四）三角函数与双曲函数

第三章 复变函数的积分及其性质

复积分的定义及其计算

柯西积分定理

柯西积分公式

解析函数的积分平均值定理

解析函数的无穷可微性

在实变量函数中，定义在一个区间上的函数即使在这区间内可导，也不能保证该函数在这个区间内的二阶导数存在。但在复变函数中，若一个函数在一个区域内解析，则可以利用柯西积分公式推知，该解析函数是无穷次可微的。

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第四章与第五章没有做那么仔细的梳理，日后有机会再补上吧。还有后面的保角映射、拉普拉斯变换。

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